2018--2019年北京市东城区高三数学一模文科试题

·1·北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集{1,2,3,4}U，集合{1,2}A，那么集合UAð为（A）{3}（B）{3,4}（C）{1,2}（D）{2,3}（2）“1a”是“直线20xy与直线(1)40xay平行”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）已知ABCD为平行四边形，若向量ABa，ACb，则向量BC为（A）ab（B）a+b（C）ba（D）ab（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（A）5?n（B）5?n（C）5?n（D）5?n（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧．面积是（A）2(1+2)cm（B）2(3+2)cm（C）2(4+2)cm（D）2(5+2)cm·2·（6）已知点(2,1)A，抛物线24yx的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得PAPF最小，则P点的坐标为（A）(2,1)（B）(1,1)（C）1(,1)2（D）1(,1)4（7）对于函数)(xfy，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y745813526数列}{nx满足21x，且对任意*nN，点),(1nnxx都在函数)(xfy的图象上，则201320124321xxxxxx的值为（A）9394（B）9380（C）9396（D）9400（8）已知定义在R上的函数()fx的对称轴为3x，且当3x时，()23xfx.若函数()fx在区间(1,)kk（kZ）上有零点，则k的值为（A）2或7（B）2或8（C）1或7（D）1或8·3·第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知i是虚数单位，那么i(1i)等于．（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是．（11）不等式组20,0,0xyxy表示的平面区域为D，则区域D的面积为，zxy的最大值为．（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．（13）函数()sin()3fxx的图象为C，有如下结论：①图象C关于直线56x对称；②图象C关于点4(,0)3对称；③函数)(xf在区间5[,]36内是增函数，其中正确的结论序号是．(写出所有正确结论的序号)（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若nnaa(0)a，则位于第10行的第8列的项等于，2013a在图中位于．（填第几行的第几列）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3cosbAaB．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若23b，求ac的最大值．（16）（本小题共14分）如图，已知AD平面ABC，CE平面ABC，F为BC的中点，若12ABACADCE．（Ⅰ）求证：//AF平面BDE；ACDE·4·（Ⅱ）求证：平面BDE平面BCE．（17）（本小题共13分）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：优秀良好合格男生人数x380373女生人数y370377（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若245x，245y，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．（18）（本小题共14分）已知函数()ln(1)fxmxmx()mR．（Ⅰ）当2m时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（III）若()fx存在最大值M，且0M，求m的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆C：22221xyab(0)ab的两个焦点分别为1F，2F，离心率为22，且过点(2,2).（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分·5·别过点1F，2F，且这两条直线互相垂直，求证：11||||MNPQ为定值.（20）（本小题共13分）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)inAaaaa.其中ia(1,2,,)in称为数组A的“元”，i称为ia的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组.定义两个数组12(,,,)nAaaa，12(,,,)nBbbb的关系数为1122(,)nnCABababab.（Ⅰ）若11(,)22A，(1,1,2,3)B，设S是B的含有两个“元”的子数组，求(,)CAS的最大值；（Ⅱ）若333(,,)333A，(0,,,)Babc，且2221abc，S为B的含有三个“元”的子数组，求(,)CAS的最大值.·6·北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）D（7）A（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1i（10）842（11）2，2（12）14（13）①②③（14）89a第45行的第77列注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为sin3cosbAaB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB，因为在△ABC中，sin0A，所以tan3B.又0B，所以3B.（Ⅱ）由余弦定理2222cosbacacB，因为3B，23b，所以2212acac.因为222acac，所以12ac.当且仅当23ac时，ac取得最大值12.（16）（共14分）证明：（Ⅰ）取BE的中点G，连结GF，GD.因为F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．·7·所以//GFEC，12GFCE．因为AD平面ABC，CE平面ABC，所以////GFECAD．又因为12ADCE，所以GFAD．所以四边形GFAD为平行四边形．所以//AFDG．因为DG平面BDE，AF平面BDE，所以//AF平面BDE．（Ⅱ）因为ABAC，F为BC的中点，所以AFBC．因为//ECGF，EC平面ABC，所以GF平面ABC．又AF平面ABC，所以GFAF．因为GFBCF，所以AF平面BCE．因为//AFDG，所以DG平面BCE．又DG平面BDE，所以平面BDE平面BCE．（17）（共13分）解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：2000(380373370377)500xy．因为80500202000，故在优秀等级的学生中应抽取20份．（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A．因为500xy，245x，245y，且x，y为正整数，所以数组(,)xy的可能取值为：(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个．ABCDEFG·8·其中满足xy的数组(,)xy的所有可能取值为：(255,245)，(254,246)，(253,247)，(252,248)，(251,249)共5个，即事件A包含的基本事件数为5．所以5()11PA．故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511．（18）（共14分）解：（Ⅰ）当2m时，()2lnfxxx．22()1xfxxx．所以(1)3f．又(1)1f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是13(1)yx，即320xy．（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)，(1)()1mmxmfxmxx．当0m≤时，由0x知()10mfxmx恒成立，此时()fx在区间(0,)上单调递减．当m≥1时，由0x知()10mfxmx恒成立，此时()fx在区间(0,)上单调递增．当01m时，由()0fx，得1mxm，由()0fx，得1mxm，此时()fx在区间(0,)1mm内单调递增，在区间(,)1mm内单调递减．（III）由（Ⅱ）知函数()fx的定义域为(0,)，当0m≤或m≥1时，()fx在区间(0,)上单调，此时函数()fx无最大值．·9·当01m时，()fx在区间(0,)1mm内单调递增，在区间(,)1mm内单调递减，所以当01m时函数()fx有最大值．最大值()ln11mmMfmmmm．因为0M，所以有ln01mmmm，解之得e1em．所以m的取值范围是e(,1)1e．（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知22cea，所以222222112baceaa.所以222ab.所以C：222212xybb，即22222xyb.因为椭圆C过点(2,2)，得24b，28a.所以椭圆C的方程为22184xy.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为1(2,0)F，2(2,0)F.根据题意，可设直线MN的方程为(2)ykx，由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为1(2)yxk.设11(,)Mxy，22(,)Nxy.由方程组22(2),184ykxxy消y得·10·2222(21)8880kxkxk.则21228,21kxxk21228821kxxk.所以MN2212121()4kxxxx=2242(1)21kk.同理可得PQ2242(1)2kk.所以11||||MNPQ222142(1)kk22242(1)kk223332842(1)kk.（20）（共13分）解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(S时，(,)CAS取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中cba,,三个“元”的对称性，可以只计算3(,)()3CASab的最大值，其中1222cba．由22222222()22()2()2abababababc，得22ab．当且仅当0c，且22ab时，ba达到最大值2，于是36(,)()33CASab．②当0不是S中的“元”时，计算3(,)()3CASabc的最大值，由于1222cba，所以bcacabcbacba222)(2222．3)(3222cba，当且仅当cba时，等号成立．·11·即当33cba时，cba取得最大值3，此时3(,)()13CASabc．综上所述，(,)CAS的最大值为1．