高中物理竞赛培训(电磁学部分)-2014

中学生物理竞赛试题（电磁学部分）EM-1解答：qORqPAF/2mgBT根据镜像法可得：22RRqqqqOBxRROAdxOB(,dOBxOA)小球所受的合力：222sin22222200011/2sin(/2)4()4(/)4(2cos1)xRCqqqRxqFdxRxxR2cossinsin12(2cos1)FFmgmg（2204qmgR）（1）平衡位置：2sin10(2cos1)Fmgsin0或2(2cos1)0或2cos1或2cos1qORP结论：a）1时，只有一个平衡位置：00b）1时，有三个平衡位置：010，021arccos()2，031arccos()2qORP（2）稳定性：a）1时，只有一个平衡位置：00令0（0）2sin1(2cos1)Fmg当0时，0F；当0时，0F。因此小球在00位置处于不稳定平衡。qORP（2）稳定性：a）1时，只有一个平衡位置：00令0（0）2sin1(2cos1)Fmg当0时，0F；当0时，0F。因此小球在00位置处于不稳定平衡。qORPb）1时，有三个平衡位置：010，021arccos()2，031arccos()2010的稳定性：令01（0）2sin1(1)(2cos1)Fmgmg当0时，0F；当0时，0F。因此小球在00位置处于稳定平衡。021arccos()2的稳定性：令02（0）02202sin()1[2cos()1]Fmg当0时，02sin()0，02022cos()12cos1，220202110[2cos()1](2cos1)因此0F；同理当0时，0F。因此小球在021arccos()2位置处于不稳定平衡。031arccos()2的稳定性：同理，小球在031arccos()2位置处于不稳定平衡。（3）简谐振动周期只有1时，电荷才可能在010附近作简谐振动。根据(1)(1)mgFmgsksR（sR）可得简谐振动周期：22(1)mRTkgqORPEM-2解答：（1）导体球壳上感应电荷的总电量00044OQQUdRRQQddORPQQ（3）据电场线的性质（电场线永不相交）和电场的叠加原理：2221122222122(1cos)2(1cos)2(1cos)444rrrQQQQrrraOR2PQBDdQOP12r1r2raOR2PQBDdQOP12r1r2r12coscos(1cos)Rd122coscos2cosdRdRdR22222coscos2coscos2cosaRaRaRRddRdR2222cos12cosRdRdRdRdR2222arccos12cosRdRdRdRdR2221122222122(1cos)2(1cos)2(1cos)444rrrQQQQrrr17第29届预赛试题EM-3OOCABRR/2R0vQQMNq第27届复赛试题EM-4OOCABRR/2R0vQQMNqOOCABRR/2R0vQQMNqOOCABRR/2R0vQQMNqOOCABRR/2R0vQQMNqEM-5EM-6第30届复赛试题2012国际物理奥赛EM-72012国际物理奥赛EM-7以下信息有助于解答此题。液体中的分子更喜欢呆在液体中而非气液界面处。气液界面处具有表面能U=σS，其中S是界面的面积，σ是表面张力系数。液体表面的两部分间具有相互拉力F=σl,l是分隔两部分的直线长度。PartA.一个管子一个内直径为d的长金属管垂直朝下放置，如图所示，可导电的水从其下端喷嘴处缓慢滴落。水的表面张力系数是σ，密度是ρ。有一个半径为r的水滴挂在喷嘴处，其半径随时间慢慢增加直至重力（加速度g）作用下水滴从喷嘴处分离。假设d≪r.i)推导水滴脱离喷嘴前的最大半径rmaxii）假设相对无穷远处，金属管的静电势能为φ，推导当水滴半径为r时所携带的电荷Q。iii）假设r固定而φ缓慢增加，水滴将变得不稳定并当其内部水压小于外界大气压时分裂为小水滴。推导此临界电压φmaxPartB.两个管子卡尔文滴水起电机由两个A部分中所述管子构成，如图所示。两管的下端喷嘴位于两个圆柱形（高为L，半径为D，L≫D≫r）电极中。各管中水滴速率为单位时间n滴。水滴从高度H处下落到与电极交叉相连的导电桶内。同时两个电极间连接一个电容为C的电容器。初始时系统为电中性，但是由于最初下落的水滴带有微量的电荷导致一段时间后两个电极间电荷分布不再均衡。i)当电容器带电量为q时，推导从喷嘴下落的水滴带电量Q0（可利用rmax，并忽略A-iii中所述效应）ii）寻找q随时间变化的函数q(t)，假设q(0)=q0iii）起电机的工作可由于A-iii中所述效应而中断。并且电极两端最高电压受限于水滴与导电桶之间的静电斥力。据此推导最高电压Umax第25届全国中学生物理竞赛复赛题(2008年9月)39EM-8[解法一][原参考解答]如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间Δt内电流通过线圈因发热而损失的能量为2EIRt(1)以ρ表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l表示铅丝的长度，则有lRS(2)电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有ISnev(3)40所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度ΔI，即电流变化的上限为。由于导电电子的数密度是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为v–Δv，对应的电流变化IneSv(4)导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为221122kElSnmmlSnmvvvvv(5)41由于ΔII，所以Δvv，式中Δv的平方项已被略去。由（3）式解出v，（4）式解出Δv，代入（5）式得2klmIIEneS(6)铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即kEE(7)由(1)、(2)、(6)、(7)式解得2ΔmIneIt(8)42前式中7365243600s=3.1510st(9)在（8）式中代入有关数据得261.410Ωm(10)所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到261.410Ωm(11)本题当时评分标准：本题22分.(1)式、(3)式、(4)式各2分，(5)式10分，(7)式2分，(10)式3分，结论(11)式l分.43[解法二]如果电流有衰减，意味着线圈有电阻。电阻形成的机制是由于载流子即导电电子在导体中运动通过碰撞损失能量，我们可以唯象地将电阻的作用等效为一阻尼力fR。考虑截面为S长为l流以稳恒电流I的一段导体，Ohm定理给出URI这也可视为电场力与唯象阻尼力fR的平衡，由此得到阻尼力的表达式RURIfeEeell(1)设导体的电阻率为ρ，则有lRS(２)44因此该唯象阻尼力fR与导电电子的定向运动方向相反，使得定向运动速率逐渐减小。由Newton方程，在δt的微小时间里定向运动速率的变化满足RveImftS(4)ReIfS(３)45由于导电电子的数密度n是不变的，定向运动速率由v变为v+δv，对应的电流变化δI=neSδv，或者代入Newton方程(4)式得mIeInet(6)在本题中，持续一年的时间内电流I的变化很小，其上限为ΔI=1.0mAI。可知I基本上是常数，因此由上面(5)式知其变化是均匀的，故在一年时间Δt内IItt(7)1vIneS(5)46其中。这样(5,6)式给出也就是2ΔmIneIt(9)此式与解法一所得结果相同，余下部分解答同解法一。ddmIeInetmIeInet(8)0IIIt[讨论](6)式令δt→0，则47其中I0为初始电流，题意电流I经一年时间变化甚小，原因在于ρ很小。故经过一年时间Δt20()1enItItm因此200enIIIIttm20()eentmItI解此微分方程得48这与前结果相同。220ΔΔmImIneItneIt由此得出49如图所示，空间有一沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时在0x和0x的区域分别存在沿x轴正方向和负方向的电场，电场强度大小与场点到Oyz平面的距离成正比，即xEi（为大于零的常数，i为沿Ox方向的单位矢量）。今有一质量为m，电量为q（0q）的带电粒子在0t时刻自坐标原点以初速度0v在Oxy平面内沿与x轴成060角的方向射出。忽略重力和其它阻力的影响。（1）写出任意t时刻粒子的位置坐标。（2）为使粒子作周期性运动，、B、q、m必须满足什么条件？（3）若使0x区域的磁场反向，其它条件不变，则使粒子作周期性运动的条件是什么？OEB0vq060yxzEM-9解答：（1）粒子沿x轴方向的运动：xqEqaxmm所以粒子沿x轴作简谐振动，其角频率和周期分别为xqm，22xmTq振动方程：cos()xxAt由初始条件：00000cos60txtxvv，可得：022vmAq振动方程：0sin2vmqxtqm（2）为使粒子作周期性运动，必须xyzpTnT(12,12)np,,,,22mnmpqqBqnBmp所以，粒子能够作周期性运动的条件为：/()Bqm为正的有理数。（3）0x与0x区域的B反向分析可知（见图），此时为使粒子能够作周期性运动，必须满足12xyzTnT(12)n,,2mnmqqB2qBnm所以，粒子能够作周期性运动的条件为：/()Bqm为偶数。0yvyzO0yvyzO2qBnm时2qBnm时如图所示，在边长为a的等边三角形ABC所围城的区域内有一磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。有一带电量为q（0q），质量为m的点电荷以速度v沿平行于BC边的方向从AB边上的某一点P进入磁场。忽略重力和其它阻力的影响。问：（1）为使点电荷在磁场区域内运动的时间尽可能长，点电荷应从AB边上什么位置进入磁场？（求出入射点P到顶点A的距离。）（2）按照上述位置进入磁场，点电荷在磁场区域内运动的时间为多少？AvBC,qmBaPEM-10BABCPFOR1vDE()aBABCPOR2vDG()bBAvBCPFORPvODE()c305qaBvmBABCPFORvDEG()d3352qaBqaBvmmBABCPORvDG()