2016年专项练习题集-简单复合函数的导数

2016年专项练习题集-简单复合函数的导数一、选择题1.函数y＝cos3x＋sinx的导数为()A．－3sin3x＋cosx2xB．3sin3x＋cosx2xC．－3sin3x＋sinx2xD．3sin3x－cosx2x【分值】5分【答案】A【易错点】解答此类问题常犯两个错误：(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数．(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的加法法则。【解题思路】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导。【解析】y′＝－sin3x·(3x)′＋cosx·(x)′＝－3sin3x＋12·1xcosx＝－3sin3x＋cosx2x.2.函数y＝2xln(2x＋1)的导数为()A．ln(2x＋1)－124xxB．2ln(2x＋1)＋124xxC．2xln(2x＋1)D.124xx【分值】5分【答案】B【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思路】按照导数的乘法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】y′＝[2xln(2x＋1)]′＝(2x)′ln(2x＋1)＋2x[ln(2x＋1)]′＝2ln(2x＋1)＋2x·121x·(2x＋1)′＝2ln(2x＋1)＋124xx.3.函数y＝cos2x-sin2x的导数是()A．-22cos2x－π4B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2xD．-22cos2x＋π4【分值】5分【答案】A【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的减法法则。【解题思路】按照导数的减法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】∵y′＝(cos2x－sin2x)′＝(cos2x)′－(sin2x)′＝-sin2x·(2x)′-cos2x·(2x)′＝-2sin2x-2cos2x＝-2222cos2x＋22sin2x＝-22cos2x－π4，故选A.4.若函数为f(x)＝cos4x－sin4x，则f′(4)＝()．A.2B.-2C.1D.-1【分值】5分【答案】B【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【易错点】不能对函数关系式准确化简致误．【解题思路】先应用三角公式化简，再对复合函数求导。【解析】∵f(x)＝cos4x－sin4x＝(sin2x＋cos2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x，∴f′(x)＝(cos2x)′＝(－sin2x)·(2x)′＝-2sin2x,f′(4)=-2.5.曲线y＝e－3x-2在点(0，-1)处的切线方程为()．A.3x-y-1＝0B.3x＋y-1＝0C.3x＋y+1＝0D.3x-y+1＝0【分值】5分【答案】C【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数、导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】因为y′＝e－3x(－3x)′＝－3e－3x，所以y′|x＝0＝－3，故切线方程为y+1＝－3(x－0)，即3x＋y+1＝0.二、填空题6.已知函数f（x）＝1（2x－1）3，则f(1)+f′(1)=.【分值】5分【答案】C【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及求值。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】函数y＝1（2x－1）3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6（2x－1）4.f(1)+f′(1)=1-6=-5.7.函数y＝sinnxcosnx的导数为．【分值】5分【答案】nsinn－1xcos[(n＋1)x]【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝nsinn－1x·(sinx)′·cosnx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′＝nsinn－1x·cosx·cosnx－sinnx·sinnx·n＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsinnx)＝nsinn－1xcos[(n＋1)x]．8.曲线y＝x1－1－x在点（43，23）处的切线的倾斜角为。【分值】5分【答案】nsinn－1xcos[(n＋1)x]【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导，求得)43(f的值后再研究切线的倾斜角。【解析】y＝x1－1－x＝x（1＋1－x）（1－1－x）（1＋1－x）＝x（1＋1－x）1－（1－x）＝1＋1－x.设y＝1＋u，u＝1－x，则y′＝yu′·ux′＝(1＋u)′·(1－x)′＝12u·(－1)＝－121－x.,1)43(f即切线斜率为-1，则切线的倾斜角为43。三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝231x；(2)y＝ecosx；(3)y＝5log2(-2x＋1)．【分值】10分【答案】（1）2313xx（2）-esinxcosx（3）-10（2x＋1）ln2【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】(1)设y＝21u，u＝1－3x2，则y′＝(21u)′(1－3x2)′＝2121u·(－6x)＝212)31(21x(－6x)＝2313xx。(2)设y＝eu，u＝cosx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·（-cosx）＝-esinxcosx.(3)设y＝5log2u，u＝-2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝-10uln2＝-10（2x＋1）ln2.10.已知函数f(x)＝axx2＋b，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．【分值】10分【答案】见解析【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝a（x2＋b）－ax（2x）（x2＋b）2＝ab－ax2（x2＋b）2.因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．所以f′（1）＝0，f（1）＝2，即ab－a＝0，1＋b≠0，a1＋b＝2，所以a＝4，b＝1，所以f(x)＝4xx2＋1.(2)因为f′(x)＝4－4x2（x2＋1）2，所以直l的斜率k＝f′(x0)＝4－4x20（x20＋1）2＝42（x20＋1）2－1x20＋1，令t＝1x20＋1，t∈(0，1]，则k＝4(2t2－t)＝8t－142－12，所以k∈－12，4.