微分方程-微分方程应用模型举例

第九节微分方程应用模型举例第十二章一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答1º建模(常微分方程模型)1.基本步骤2º求解(精确解或近似解)或对解作定性分析(研究解的性态)3º解的实际意义(解释与预测)注数学模型:对实际问题的简化而本质的数学描述.一、主要内容(一)利用微分方程解决实际问题的基本步骤与方法2.基本方法建立常微分方程模型的主要方法:(1)根据规律列方程;(2)微元分析法;(3)模拟近似法.(物理,力学等)(生物,经济,医学等)(二)几何应用(1)根据几何关系列方程;(2)确定定解条件;(3)求通解,并根据定解条件确定特解.1.解微分方程几何应用题的方法和步骤：2.常见的几何公式(1)平面曲线上一点的切线斜率：xyydd=′(2)平面曲线弧段L的弧长：],[),(:,d12baxxfyLxysba∈=′+=∫],[),(:,d22βαθθθβα∈=′+=∫rrLrrs(3)平面曲线的曲率：(4)平面图形的面积：xyOab)(xfy=∫=baxxfAd)(23)1(2yyK′+′′=(3)立体的体积∫∫=DyxyxfVdd),(),(yxfz=xyOzD∫=baxxxfVd)(2πxyOab)(xfy=∫∫∫Ω=vVd),(绕x轴旋转一周而成的旋转体体积：曲顶柱体的体积：一般立体的体积：yxfz=xyOz(三)物理应用1.解微分方程物理应用题的方法和步骤：(1)根据物理定律及实验规律列方程;(2)确定初始条件;(3)求通解,并根据初始条件确定特解.2.常用的物理定律(1)牛顿运动定律；(2)虎克定律；(3)万有引力定律；(4)基尔霍夫电流及电压定律.(三)其他应用;1)(00)0()0()()1(−≤≤=+∞≤≤=xexffxxfy和满足条件函数假设：二、典型例题例1；和分别相交与点和与曲线轴的动直线平行于211)()2(PPeyxfyMNyx−==.)(),()3(21的表达式长度，求函数的恒等于轴所围封闭图形的面积与直线曲线xfyPPxMNxfy==)(xfy=MN2P•1P•1−=xeyxyO∫=xxxfS0d)(点的坐标分别为21,PP)),(,(1xfxP，)1,(2−xexP封闭图形的面积：由题设条件的方程为设动直线)3(,xxMN解=)1,(2−•xexPMN1−=xeyxyO))(,(1xfxP•)(xfy=故由题设，有)(1d)(0xfexxfxx−−=∫两端求导，得)()(xfexfx′−=)(1d)(0xfexxfxx−−=∫即xexfxf=+′)()(它的通解为()Cxeeexfxxx+=∫∫∫−d)(dd()Cxeeexxx+⋅=∫−dxxCee−+=21一阶非齐次线性方程,0)0(=f由()xxeexf−−=21)(因此所求函数为,21−=C得xxCeexf−+=21)(例2[)轴与直线曲线上连续，若由，在设函数xttxxxfyxf)1(,1),(1)(===∞+])1()([3)(2ftfttV−=π.92)(2的解件并求该微分方程满足条所满足的微分方程，试求===xyxfy旋转体体积为轴旋转一周所成的所围成的平面图形绕xxyO)(xfy=1t解公式有依题意及旋转体的体积∫=txxfπtV12d)()(即)1()(d)(3212ftftxxft−=∫求导，得两边对t)()(2)(322tftttftf′+=将上式改写为xyyyx2322−=′)]1()([32ftft−=π,xyu=令即)1(3dd−=uuxux分离变量xxuuud3)1(d=−xyxyxy23dd2−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=为齐次方程，得两边同乘以21xuuxuxu23dd2−=+则有代入上式，将条件922==xy，得1−=C从而所求解为1,3−=−xyxxy.1,13+=xxxy或代回有将xyu=yCxxy3=−即31Cxuu=−积分得Cxuulnln3ln)1ln(+=−−例3满足微分方程设函数)(xfy=,xxeyyy223=+′−′′处的切线与曲线且其图形在点)1,0(在该点的切线重合，12+−=xxy).(xf求函数分析件，本题变相给出了初始条由于图形1)0(,1)0(−=′=yy可得出初始条件,12有公共点+−=xxy及在该点与过点)1,0(解特征方程为0232=+−rr特征方程为0232=+−rr特征根为2,121==rr解对应齐次线性方程的通xxeCeCY221+=故可设为特征根由于,1=λxAxey=∗代入原方程得求∗′′∗′yy,2−=A故原方程的通解为xxxxeeCeCy2221−+=,1)1,0(2有公共切线处与由于曲线在点+−=xxy由此得121=+CC12221−=−+CC解得0,121==CC故所求曲线为.)21(xexy−=.1)0(,1)0(−=′=yy故有⎩⎨⎧xxxxeeCeCy2221−+=原方程通解：设木板的的速度穿出以的木板后垂直打入厚子弹一初速度./80,10/20010smvcmsmv==例4.,所需的时间求子弹穿过木板成正比解阻力与子弹的速度平方分析,律的本题是讨论物体运动规在物体注意,即木板的阻力由牛顿第二定律得222ddkvFtsm−==,个力运动方向上子弹只受一)(2为特定的比例系数其中kkv−.200,000====ttvs其初始条件为由导数的物理意义知22ddddtstv=积分得2ddkvtvm−=分离变量tmkvvdd2−=代入方程得11Ctmkv−−=−即11Ctmkv+=,2000==tv代入初始条件20011=C得对两边积分得，得代入00==ts200ln2kmC=2)2001ln(Ctmkkms++=)2(20011dd+==tmkvts)1(所需的时间，为了求出子弹穿过木板，时刻为不妨设子弹穿出木板的0t,/8010smvvtt===时，由已知条件，当有故由式)1(20011800+=tmk)3(,10110,mcmtt==路径为时子弹在木板中走过的当另一方面式有从而由)2(200ln2001ln1010kmtmkkm+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=200ln801lnkmkm+=80200lnkm=25lnkm=，所以25ln10=mk得代入式)3(25ln10140030⋅=t)(12001s≈ox钉子需多少时间．米，试问整个链条滑过下垂米，另一边的一边下垂上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在108解,,,米链条下滑了经过时间设链条的线密度为xtρ则由牛顿第二定律得,)8()10(dd1822gxgxtxρρρ−−+=⋅.0)0(,0)0(,99=′==−′′xxgxgx即例5m8m10)(8mx−)(10mx+xgxfρ)10(1+=gxfρ)8(2−=.0)0(,0)0(,99=′==−′′xxgxgx特征方程092=−gr特征根32,1gr±=通解为对应的齐次线性方程的∴tgtgeCeCtx312311)(+=−由观察可知：非齐次线性方程有特解x=-1.非齐次线性方程的通解为,8,=x即整个链条滑过钉子代入上式得)()809ln(3秒+=gt1)(312311−+=−tgtgeCeCtx，得由0)0(,0)0(=′=xx.2121==CC,1)(21)(3131−+=∴−tgtgeetx例6解体积的四分之一,问其余部分在多长时内融化完?假定一个雪球是半径为r的球,其融化时体积的变化率与雪球的表雪球融化问题面积成正比,比例常数为k0(k与空气温度等有关),已知两小时内融化了其由于雪球体积的变化率正比与其表面积24ddrπktV−=代入上式，得将234rVπ=24ddrπktV−=)0dd,(tV体积是单调减函数等号右端加负号是因为,4dd422rπktrrπ−=,ddktr−=Cktr+−=解得00|rrt==记的规律得雪球半径随时间变化ktrr−=0,)(2时又ht=()30303443234rkrππ⋅=−解得0343121rk⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=)67.12(.20krr−=由题设:两小时内雪球体积减少了四分之一于是令r=0,并利用上式中，在ktrr−=0krt0=得雪球全部融化所需要的时间为34312−=()h22≈由于雪球全部融化约需22小时,故余下部分约20小时才能融化完.例7，每年排入湖泊内含某湖泊的水量为V为了治理，超过国家规定指标中的含量为.50m的量，流入湖泊内不含的污水量为污染物AVA6。问至多经过多少年，的浓度不超过Vm0）的浓度是均匀（注：设湖水中以内？的含量降至湖泊中污染物.0AmA年底湖泊已知，流出湖泊的水量为为1999.36VV污水中年初起，限定排入湖泊污染，从A2000解年湖泊）开始，第年初（此时设从tt02000=tmtVVmd6d600=⋅的量为流出湖泊的水中AtmtVVmd3d3=⋅，则在时间，浓度为的总量为中污染物VmmA的量为内，排入湖泊中间隔Attt]d,[+的改变量泊中污染物因而在此时间间隔内湖A排出量排入量−=mdtmmtmtmd36d3d600⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=分离变量得tmmmd612d0=−积分Ctmm+−=−3)2ln(0整理得302tCemm−−=代入初始条件005mmt==得029mC−=于是)91(230temm−+=令0mm=得3ln6=t.3ln60以内的含量降至年，湖泊中即至多需经过mA三、同步练习1.,)0,2(,),(),(0上一定点为上任意一点为的极坐标方程为设曲线LMLrMrrLθθ=所围成的曲边扇形与曲线若极径LOMOM,0两点间弧长值的一半，上面积值等于MML,0.的方程求曲线L2.二阶可导，且设函数)0()(xxy上任意一点过曲线)(,1)0(,0)(xyyyxy==′上述两直线轴的垂线作曲线的切线及,),(xyxP[]上以区间为轴所围的三角形面积记与xSx,0,1并设记为为曲边的曲边梯形面积,2)(Sxyy=.)(,1221的方程求此曲线恒为xyySS=−1)(xyy=S1xxyO•),(yxPS2)1,0(,11)(2且在曲线上点意一点处的曲率为，其上任是一向上凸的连续曲线设yxyy′+=3.求该曲线的方程，处的切线方程为,1+=xy.)(的极值并求函数xyy=目标的跟踪设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射制导导弹，导弹4.,5)0vy速度为轴的直线航行，导弹的沿平行于数.求导弹运行的曲线方程又问乙舰行驶多远时,头始终指向乙舰.如果乙舰以最大速度v0(v0是常它将被导弹击中?设弹簧上端固定,有两个相同的重物(质量为m)挂于弹簧下端,使弹簧伸长2a,今突然取走了一个重物，使弹簧由静止开始振动，求所挂重物的运动规律.5.6.放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少,这种现象叫做衰变.由原子物理学知道，见到的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.盐溶液的浓度一容器内盛有100L盐水,其中含盐10kg.今用每分钟2L的速度把净水注入容器(假定净水与盐水立即调和),又以同样速度使盐水流出.试求容器内盐量随时间变化的规律.7.四、同步练习解答1.,)0,2(,),(),(0上一定点为上任意一点为的极坐标方程为设曲线LMLrMrrLθθ=所围成的曲边扇形与曲线若极径LOMOM,0解面积可用定积分所围成的曲边扇形与由极径LOMOM10,rrθd2102∫,表示两点间弧长上而曲线MML,0两点间弧长值的一半，上面积值等于MML,0.的方程求曲线L故有θrrθrθθd21d2102202∫∫′+=得求导两边对,θ,222rrr′+=12−±=′rrr即分离变量θrrrd1d2±=−θrrθd022∫′+=∫=MMss0d⁀两边积分∫∫−−=−22111d1drrrrrr1arcsin−=Cθ+±=得代入上式将条件,2)0(=r,6πC−=的方程为故所求曲线Lr1)6sin(=θπm即).6csc(θπm=r2.二阶可导，且设函数)0()(xxy上任意一点过曲线)(,1)0(,0)(xyyyxy==′上述