浙江高考数学复习专题分层练-中高档题得高分第11练三角函数与解三角形课件

第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第11练三角函数与解三角形[解答题突破练]明晰考情1.命题角度：常与三角恒等变换相结合，考查三角函数的单调性、对称性、周期性、最值等；常与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积等问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题的位置，中低档难度.栏目索引核心考点突破练模板答题规范练考点一三角函数的单调性、最值问题方法技巧类比y＝sinx的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的单调区间，注意ω的符号；利用函数y＝Asint的图象可求得函数的最值(值域).核心考点突破练1.(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值；解由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得解答f2π3＝322－－122－23×32×－12＝2.(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.解由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得，解答所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得，π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z).解f(x)＝sin2x＋3sinxcosx2.(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；解答＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值.解由(1)知，f(x)＝sin2x－π6＋12.解答由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，即sin2x－π6在区间－π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.3.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.解∵当x∈0，π2时，π6≤2x＋π6≤7π6，解答∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴－2a＋2a＋b＝－5，a＋2a＋b＝1，解得a＝2，b＝－5.(1)求常数a，b的值；又∵a＞0，－5≤f(x)≤1，(2)当x∈0，π4时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x的值.解由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin2x＋π6－1，∴当x∈0，π4时，π6≤2x＋π6≤2π3，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最小值－5；当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最大值－3.解答考点二利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.4.(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.解在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.解答又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，(1)求角B的大小；即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.解答(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.由正弦定理可知，BCsin∠BAC＝2sin30°，证明5.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°.(1)求证：BC＝4cos∠CBD；证明在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，所以BC＝4sin∠BAC.又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，则∠BAC＋∠CBD＝90°，则sin∠BAC＝cos∠CBD，所以BC＝4cos∠CBD.解答(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由.解CD为定长，因为在△BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD，＝BC2＋4－4BCcos∠CBD＝BC2＋4－BC2＝4，所以CD＝2.6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且1a＋b＋1a＋c＝3a＋b＋c.解由题意，可得a＋b＋ca＋b＋a＋b＋ca＋c＝3，解答即ca＋b＋ba＋c＝1，(1)求角A的大小；由余弦定理知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因为0＜A＜π，所以A＝π3.整理得b2＋c2－a2＝bc，(2)若cb＝12＋3，a＝15，求b的值.解根据正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sinA＋BsinB解答＝sinAcosB＋cosAsinBsinB＝sinAtanB＋cosA＝32tanB＋12＝12＋3，解得tanB＝12，所以sinB＝55.由正弦定理得，b＝asinBsinA＝15×5532＝2.考点三三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.解由题设得12acsinB＝a23sinA，解答即12csinB＝a3sinA.(1)求sinBsinC；由正弦定理，得12sinCsinB＝sinA3sinA，故sinBsinC＝23.解由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－12，解答即cos(B＋C)＝－12.(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足23asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC.解由23asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得，解答23absinC＝a2＋b2－c2，(1)求角C的大小；∴3sinC＝a2＋b2－c22ab，∴3sinC＝cosC，∴tanC＝33，∵C∈(0，π)，∴C＝π6.(2)若acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积.解由acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝π4.根据正弦定理可得2sinπ4＝csinπ6，解得c＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝12×2×2sin(π－A－C)＝2sinπ4＋π6＝3＋12.解答得asinB＝bcosA，9.已知△ABC的内角A，B，C满足：sinA－sinB＋sinCsinC＝sinBsinA＋sinB－sinC.解答(1)求角A；化简得a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又因为0Aπ，所以A＝π3.解设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据sinA－sinB＋sinCsinC＝sinBsinA＋sinB－sinC，可得a－b＋cc＝ba＋b－c，解由正弦定理得asinA＝2R(R为△ABC外接圆半径)，解答所以a＝2RsinA＝2sinπ3＝3，(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.所以S＝12bcsinA≤12×3×32＝334(当且仅当b＝c时取等号).所以△ABC的面积S的最大值为334.所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，模板答题规范练模板体验例1(14分)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.审题路线图(1)利用交集得单调增区间为－π12，π4根据正切函数的定义域确定fx的定义域―→将函数fx化简为fx＝Asinωx＋φ＋B的形式后确定其最小正周期(2)利用整体换元思想及正弦函数的单调性求函数fx的单调增区间―→―→结合π4－－π4＝π2T，得－π4，π4上的单调减区间规范解答·评分标准解(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z，2分f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.5分所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.7分(2)令z＝2x－π3，则函数y＝2sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.10分设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.12分所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.14分构建答题模板[第一步]化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式.[第二步]整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体，研究三角函数性质.[第三步]回顾反思：查看角的范围对函数的影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化.例2(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值.(2)tanC的值―→sinC，cosC的值―→sinB的值――――→正弦定理b，c的关系――――→面积公式bc的值―→结果审题路线图(1)边的关系三角函数的关系――――→正弦定理B＋C＝34π―→角C的三角函数―→结果规范解答·评分标准解(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－sin2A＝12sin2C，即sin2B－12＝12sin2C.2分所以－cos2B＝sin2C.4分－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC＝sin2C，又sinC≠0，解得tanC＝2.7分又由A＝π4，即B＋C＝34π，得(2)由tanC＝2，C∈0，3π4得sinC＝255，cosC＝55，8分又因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010，10分由正弦定理得c＝223b，12分又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.14分构建答题模板[第一步]找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步]巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.[第三步]得结