第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

第七章函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵定义：以实变量的函数为元素的矩阵111212122212()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxAxaxaxaxx称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：已知(),1,2,,;1,2,,ijaximjn[,]ab1sin1cos,11xxxxxxABexex计算定义：设为一个阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆的。,,,2()TxABABAABn()Bx[,]xabn()()()()AxBxBxAxI()Ax[,]ab()Ax称是的逆矩阵，一般记为例：已知那么在区间上是可逆的，其逆为()Bx()Ax1()Ax11()0xxAxe()Ax1()10xxxxeAxe[3,5]函数矩阵可逆的充分必要条件定理:阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零，并且其中为矩阵的伴随矩阵。定义：区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。mn()Ax[,]ab()Ax[,]ab1*1()()()AxAxAx*()Ax()Ax[,]ab()Ax特别地，设为区间上的阶矩阵函数，如果的秩为，则称一个满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。例：已知()Ax[,]abn()Axn()Ax201()Axxx那么。于是在任何区间上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间包含有原点时，在上有零点，从而是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分定义：如果的所有各元素在处有极限，即()Axx()Ax[,]ab()Ax()Ax[,]ab,ab[,]ab()Ax[,]ab()Ax()(())ijmnAxax()ijax0xx0lim()(1,,;1,,)ijijxxaxaimjn其中为固定常数。则称在处有极限，且记为其中ija0xx0lim()xxAxA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa()Ax如果的各元素在处连续，即则称在处连续，且记为其中()Ax()ijax0xx00lim()()(1,,;1,,)ijijxxaxaximjn()Ax0xx00lim()()xxAxAx1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxAxaxaxax容易验证下面的等式是成立的：设则00lim(),lim()xxxxAxABxB0(1)lim(()())xxAxBxAB00(2)lim(())(3)lim(()())xxxxkAxkAAxBxAB定义：如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导，便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导，并且记为()(())ijmnAxax()(1,,;1,,)ijaximjn0xx[,]ab()Ax0xx[,]ab00000110120102102202010200d()()()()limd()()()()()()()()()xxxnnmmmnAxAxxAxAxxxaxaxaxaxaxaxaxaxax函数矩阵的导数运算有下列性质：(1)是常数矩阵的充分必要条件是(2)设均可导，则()Axd()0dAxx()(()),()(())ijmnijmnAxaxBxbxdd()d()[()()]dddAxBxAxBxxxxdd()d()[()()]()()dddkxAxkxAxAxkxxxx(3)设是的纯量函数，是函数矩阵，与均可导，则特别地，当是常数时有()kxx()Ax()kx()Ax()kxkdd()[()]ddAxkAxkxx(4)设均可导，且与是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以(),()AxBx()Ax()Bxdd()d()[()()]()()dddAxBxAxBxBxAxxxx232dd()()2()dddd()()3()ddAxAxAxxxAxAxAxxx(5)如果与均可导，则(6)设为矩阵函数，是的纯量函数，与均可导，则()Ax1()Ax111d()d()()()ddAxAxAxAxxx()Ax()xftt()Ax()ftdd()d()()()()dddAxAxAxftftxxx定义：如果函数矩阵的所有各元素在上可积，则称在上可积，且()(())ijmnAxax()(1,,;1,,)ijaximjn[,]ab()Ax[,]ab111212122212()d()d()d()d()d()d()d()d()d()dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxxAxxaxxaxxaxx()d()d[()()]d()d()dbbaabbbaaakAxxkAxxkRAxBxxAxxBxx函数矩阵的定积分具有如下性质：例1：已知函数矩阵试计算21()0xAxx23231(1)(),(),()(2)()(3)()dddAxAxAxdxdxdxdAxdxdAxdx证明：02()10xdAxdx220()00xdAxdx由于，所以下面求。由伴随矩阵公式可得3300()00dAxdx3()Axx2()3dAxxdx1()Ax1*23231()()()1001111AxAxAxxxxxxx再求1()dAxdx213410()23dxAxdxx例2：已知函数矩阵23sincossin()10xxxxxAxexxx试求d(2)()dAxx0(1)lim()xAxd(5)()dAxx22d(3)()dAxxd(4)()dAxx例3：已知函数矩阵试求证明：sincos()cossinxxAxxx2'00(),(())xxAxdxAxdx00000sincos()cossin1cossinsin1cosxxxxxxdxxdxAxdxxdxxdxxxxx同样可以求得222'220sincos(())2cossinxxxAxdxxxx例4：已知函数矩阵试计算22()20300xxxxexexAxeex31'00(),(())xAxdxAxdx函数向量的线性相关性定义：设有定义在区间上的个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的等式成立，我们称，在上[,]abm12()((),(),,())(1,2,,)iiiinxaxaxaxim12,,,mkkk[,]xab1122()()()0mmkxkxkx[,]ab12(),(),,()mxxx线性相关。12(),(),,()mxxx否则就说线性无关。即如果只有在等式才成立，那么就说线性无关。定义：设是个定义在区间上的连续函数向量记120mkkk12(),(),,()mxxx12(),(),,()mxxxm[,]ab12()((),(),,())(1,2,,)iiiinxaxaxaxim()()d(,1,2,,)bTijijagxxxijm以为元素的常数矩阵称为的Gram矩阵，称为Gram行列式。定理：定义在区间上的连续函数向量线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。ijg()ijmnGg12(),(),,()mxxxdetG[,]ab12(),(),,()mxxx12()(0,),()(,0)xxxx例：设则于是的Gram矩阵为233111221233221d()301d()3babagxxbagggxxba12(),()xx33331()0310()3baGba所以故当时，在上是线性无关的。3321det()9Gba12det0,(),()Gxxab[,]ab定义：设是个定义在区间上的有阶导数的函数向量，记那么称矩阵12()((),(),,())iiiinxaxaxax(1,2,,)imm1m[,]ab11112122122212()()()()()()()()()()()()()nnmmmmnxaxaxaxxaxaxaxAxxaxaxax(1)111212122212(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)12()(()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()mmmnnnmmmnmmmnmmmnmmmmWxAxAxAxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)()mmnx是的Wronski矩阵。12(),(),,()mxxx(1)(),(),,()mAxAxAx其中分别是的一阶，二阶，…，阶导数矩阵。定理：设是的Wronski矩阵。如果在区间上的某个点，常数矩阵的秩等于，则向量在上线性无关。()Ax1m()Wx12(),(),,()mxxx0[,]xab0()Wxm12(),(),,()mxxx[,]ab[,]ab例：设则因为的秩为2，所以与线性无关。212()(1,,),()(,1,)xxxxxex221()1012()011012()101xxxxxxAxexxAxexxxWxexe(0)W1()x2()x函数矩阵在微分方程中的应用形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnndxatxtatxtatxtftdtdxatxtatxtatxtftdtdxatxtatxtatxtftdt的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式其中()()()()dxtAtxtftdt1112121222121212()()()()()()()()()()()[(),(),,()]()[(),(),,()]nnnnnnTnTnatatatatatatAtatatatxtxtxtxtftftftft1112121222121212()()()()()()()()()()()[(),(),,()]()[(),(),,()]nnnnnnTnTnatatatatatatAtatatatxtxtxtxtftftftft上述方程组的初始条件为可以表示成定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件的解为1010202000(),(),,()nnxtxxtxxtx010200()[,,,]TnxtxxxAn()()dxtAxtdt00()xtx0()0Attxex定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件的解为例1：设An()()()dxtAxtftdt00()xtx000()()0()tAttAtttxexef