洛伦兹变换的简单推导-timepp

洛伦兹变换的简单推导前言网上有很多用光钟来解释时间膨胀的科普文章，非常简明易懂。借助一点三角形的几何学，很容易明白√𝑐2−v2是怎么来的。但是洛伦兹变换，尤其是其中的系数:−𝑣𝑐∙√𝑐2−𝑣2并不是那么轻易就得出来的。于是在网上找洛伦兹变换的推导方法，要么是从特别高大上抽象的数学语言解释，要么像爱因斯坦《浅说》中那样用初等数学但是有些晦涩的繁琐的得出（说实话我目前仍然没有看懂）。于是自己试了一下，用尽可能简明的步骤推导出这个变换。当然我的推导是假设线性变换（符合直觉）的情况下，没有包含“为什么变换是线性的”的证明。数学表述设有两个参考系S和S’，其中S’沿X轴相对S以速度v运动。在时刻0，它们的原点重合。两个参考系的事件坐标分别表示为(x,t)和(x’,t’)。我们是想求出如下变换(𝑥′𝑡′)=(𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4)×(𝑥𝑡)（即矩阵中的四个元素的值）这个变换要满足一个条件：在不同参考系中光速保持不变。求解我们用待定系数法求解，也就是说找到一些简单情况下的x,x’,t,t’的值，代入方程，解出a1-a4.假设在时刻0，也就是O和O’重合的时候，从S’的原点发出一个光子，沿Y轴向上运行一秒，光源爆炸。取爆炸的光源为事件。这个事件在S’中的坐标为(0,1)，我们来看它在S中的坐标是多少。首先我们来算当事件发生时S中的t是多少，搬出那个著名的辅助三角形：在S参考系中，爆炸点，光子，和坐标原点组成一个三角形。在S中看到三角形竖边的长度是c，和S’中的长度一样（因为S’在竖直方向并没有速度）。三角形斜边的长度是ct，因为在S参考系看来，光子沿这个斜边走了t时间到达的那个位置。同理，横边是vt。我们据此得到了一组对应关系。{𝑡=𝑐√𝑐2−v2𝑥=𝑐𝑣√𝑐2−v2𝑥′=0𝑡′=1类似的，考虑在S的原点发出一个光子的类似问题，我们得到另一组关系（由于运动的相对性，结果必然是对称的，只是横坐标差一个正负号）：{𝑡′=𝑐√𝑐2−v2𝑥′=−𝑐𝑣√𝑐2−v2𝑥=0𝑡=1把以上两组关系代入待求解的变换式，我们得到了下面的方程：{(01)=(𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4)×(𝑐𝑣√𝑐2−v2𝑐√𝑐2−v2)(−𝑐𝑣√𝑐2−v2𝑐√𝑐2−v2)=(𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4)×(01)正好四个未知数四个方程，解得洛伦兹变换：OYY’OXX’O’cctvt(x't')=(c√c2-v2-cv√c2-v2-vc∙√c2-v2c√c2-v2)×(xt)