综合训练 锐角三角函数的应用

九年级数学下册(人教版)第二十八章锐角三角函数综合训练锐角三角函数的应用1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，则▱ABCD的面积是()A.12absinαB．absinαC．abcosαD.12abcosαA2．(2015·济宁)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为()A．5米B．6米C．8米D．(3＋5)米A3．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为()A．103海里/时B．30海里/时C．203海里/时D．303海里/时D4．如图，在某段国道改造工程中，需沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝________m．(参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1920)642.85．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图，在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3m，则旗杆AB的高度为____m.96．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，如图，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到C处有生命迹象，已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则AD＝3CD＝3x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，由题意得3x－x＝4，∴x＝43－1＝2(3＋1)≈5.5，即生命所在点C的深度为5.5m7．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡度为3∶1，坡长AB＝203m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度为1∶1，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝3，则∠BAE＝60°，∴AE＝103，BE＝30，又tan∠BFE＝BEEF＝1，∴BE＝EF＝30，∴AF＝EF－AE＝30－103≈13(m)，即AF的长度为13m8．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘船只，测得A，B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截，求该可疑船只航行的速度．(参考数据：sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，cos53°≈35，tan53°≈43)解：根据题意可得，在△ABC中，AB＝99海里，∠ABC＝53°，∠BAC＝27°，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD＝x海里，则AD＝(99－x)海里，在Rt△BCD中，CD＝x·tan53°≈43x(海里)，在Rt△ACD中，则CD＝AD·tan27°≈12(99－x)，则43x＝12(99－x)，解得x＝27，即BD＝27，在Rt△BCD中，BC＝BDcos53°≈2735＝45，45÷2＝22.5(海里/时)，则该可疑船只的航行速度为22.5海里/时9．(2015·包头)为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.(1)求公益广告牌的高度AB；(2)求加固钢缆AD和BD的长．解：(1)在Rt△ADC中，AC＝CD·tan∠ADC＝3·tan60°＝33，在Rt△BDC中，BC＝CD＝3，∴AB＝AC－BC＝(33－3)米(2)Rt△ADC中，AD＝CDcos∠ADC＝3cos60°＝6(米)，在Rt△BDC中，BD＝CDcos∠BDC＝3cos45°＝32(米)10．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上，有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？解：依题意得∠AMN＝30°，过点A作AC⊥MN于点C，在Rt△ABC中，∠ABN＝75°－30°＝45°，∴BC＝AC，由MB＝MC－BC，得3AC－AC＝400，∴AC＝200(3＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区11．(2015·盐城)如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．解：(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，AB＝AE·tan60°＝103≈17.3(米)，即楼房的高度约为17.3米(2)当α＝45°时，小猫仍可晒到太阳．理由：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为H，∵∠BFA＝45°，∴AF＝AB＝17.3米，∴CF＝AF－AC＝0.1米，∴CH＝CF＝0.1米，∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫仍可晒到太阳