火羽流第4讲-[兼容模式]

火羽流理论火羽流理论第四讲量纲分析陆守香：sxlu@ustceducn陆守香：[e-mail]办公地点：力学一楼214室0551-3603141，13956966718DimensionalAnalysisy4.1引言4.2相似性原理43量纲与量纲分析4.3量纲与量纲分析4.4火灾研究中的无量纲量4.1引言引言WrightBrothersProf.AWPorter:ThemethodofDimensions(1933)ProfHLLanghaar:DimensionalAnalysisandProf.HLLanghaar:DimensionalAnalysisandTheoryofModels(1951)Prof.RCPankhurst:DimensionalAnalysisandScaleFactors(1964)PHThomas：DimensionalAnalysis-AMagicArtinFireResearch？(1997)4.1引言引言222Re/ulmomentumulushearforcelρρμμ==fllμhlNuk=32TgzGrTνΔ=Tν∞323726225(9.81/)(0.5)()1.110298(2010/)TgzmsmGrTmsν−∞Δ=≈=××()∞4.2相似性原理相似性原理1、研究自然现象的目标研究个自然现象其目标是希望将其本研究一个自然现象，其目标是希望将其本质过程表达成一种定量的函数关系上述参数表示与该过程有关的物理量12(,,...,)0nfxxx=上述参数表示与该过程有关的物理量——自变量、因变量、某些参数、物理常数等2、研究方法2、研究方法理论研究——列出其微分方程，在一定的初边条件下通过解析方法解得上述函数初边条件下通过解析方法解得上述函数实验研究——根据经验或简化的理论分析列出与该过程有关的各个物理量：X1,X2,…,Xn,通过实验，确定它们的函数关系。4.2相似性原理相似性原理3、模型实验模型实验不研究自然现象本身，而是在特定的实验条件下研究了尺度缩小了的类似现象实验条件下研究了尺度缩小了的类似现象，这就是模拟（模型）实验。显然，模拟实验所研究的现象的特征应该能换算（对应）验所研究的现象的特征应该能换算（对应）成自然现象的相应特征，或者说这两个现象之间应具有相似性。4.2相似性原理相似性原理4、相似性及相似变换相似性及相似变换说两个自然现象是相似的，是指它们满足同样的数学规律但同一参量所取的数值不同数学规律，但同参量所取的数值不同。两个现象相似的充要条件：（1）它们由同一微分方程描述；（1）它们由同一微分方程描述；（2）定解条件的区别仅在于数值的不同。例：给n个常数因子kkk取不同的数值就得到不1122(,,...,)0(4.1)nnfkxkxkx=给n个常数因子k1,k2,…,kn取不同的数值，就得到不同的但互相相似的现象。给xi乘上常数因子的操作称为相似变换，即：相似变换，即：(1,2,...,)iiixkxin′==4.2相似性原理相似性原理5、齐次函数与绝对相似若常数因子ki（i=1,2,…,n)的取值范围是任意的，未加任何限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似。设研究的过程可描述为12(,,...,)0(4.2)nfxxx=其中xi代表自变量\因变量及某些物理参数和常数。若在相似变换(4.3)iiixkx′=12()()nf（k1,k2,…,kn取为任意常数）之下，恒有()iii成立则称（42）式左端12(,,...,)0(4.4)nfxxx′′′=()fQ成立，则称（4.2）式左端为齐次函数。12(,,...,)nfxxxQ=4.2相似性原理相似性原理5、齐次函数与绝对相似若由同一个齐次函数所描述的所有现象都是互相相似的，因为函数在相似变换下具有不变性。常数因子ki（i=1,2,…,n)的取值范围是任意的，未加任何限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似。未加任何限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似设研究的过程可描述为12(,,...,)0(4.2)nfxxx=其中xi代表自变量\因变量及某些物理参数和常数。若在相似变换(4.3)iiixkx′=12()()nf（k1,k2,…,kn取为任意常数）之下，恒有()iii成立，则称（4.2）式左端为齐次数12(,,...,)0(4.4)nfxxx′′′=12(,,...,)nQfxxx=为齐次函数。12()nQf4.2相似性原理相似性原理5、齐次函数与绝对相似齐次函数与绝对相似若使函数f(x1,x2,…,xn)具有不变性，必须成立。即齐次函数中所有的常数因子必须能够提到函数符号以外来。121212(,,...,)(,,...,)(,,...,)(4.5)nnnfxxxkkkfxxx′′′=Φ并且，可以进一步证明121212(,,...,)...(4.6)nnnfxxxcxxxααα=即齐次函数只能是各变量的幂次积。1212()()nnf如果描述某个现象或过程的函数不是各变量的幂次积,如何办?4.2相似性原理相似性原理5、齐次函数与绝对相似齐次函数与绝对相似若使函数f(x1,x2,…,xn)具有不变性，必须成立。即齐次函数中所有的常数因子必须能够提到函数符号以外来。121212(,,...,)(,,...,)(,,...,)(4.5)nnnfxxxkkkfxxx′′′=Φ并且，可以进一步证明121212(,,...,)...(4.6)nnnfxxxcxxxααα=即齐次函数只能是各变量的幂次积。1212()()nnf4.2相似性原理相似性原理6、条件相似与自由度如果相似性变化x’=kixi满足一定条件时，函数f(x1,x2,…,xn)＝0具有不变性，则为条件相似。首先从个变量出发构造新的变量PPP首先，从n个变量x1,x2,…,xn出发构造新的变量P1,P2,…,Pr,rn.其中Pj是xi的幂次组合111211112...nPcxxxααα⎧=1112212222212......(4.7)nnnPcxxxPcxxxααα⎧⎪=⎪⎨⎪或者表为1212.........rrrnrrnPcxxxααα⎪⎪=⎩12jjjααα或者表示为可得新变量表示的方程1212[]...(1,2,......,)(4.8)jjjnjijnPxcxxxjrααα==可得新变量表示的方程12012(,,...,)(,,......)0(4.9)nrfxxxPPPP≡Φ=4.2相似性原理相似性原理6、条件相似与自由度如f(xxx)＝0具有不变性即在相似变换x’=kx之下有12012(,,...,)(,,......)0(4.9)nrfxxxPPPP≡Φ=如f(x1,x2,…,xn)＝0具有不变性，即在相似变换x=kixi之下有成立，就相当于要求12(,,...,)0nfxxx′′′=jjjPKP′=使由x’=kixi和12[](12)(48)jjjnPxcxxxjrααα==112212(,,......,)(,,......,)0(4.10)rrrKPKPKPPPPΦ=Φ=由xkixi，和有12[]...(1,2,......,)(4.8)jijnPxcxxxjr==12121212[][](...)...jjjnjjjnjjijiijnnPPxPkxckkkxxxαααααα′′===1212...jjjnjjnjjcKxxxKPααα=所以，若则相似1212...jjjnjnKkkkααα=1212...1jjjnjnKkkkααα==4.2相似性原理相似性原理6、条件相似与自由度令12(,,......,)0rPPPΦ=则对新变量Pj具有不变性的充分必要条件为：Kj=1.这也是原方程f(x1,x2,…,xn)＝0对于原变量xi具有不变性的充分必要条件必要条件。称为条件变自度1212...1jjjnjnKkkkααα==称n-r为条件相似变换的自由度。新的组合变量应该是原变量的幂次积。1212[]...(1,2,......,)(4.8)jjjnjijnPxcxxxjrααα==4.2相似性原理相似性原理7、相似定理相似准则：对于彼此相似的现象，存在着同样数值的综合量，这个综合量就叫作相似准则相似第一定理：彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则准则如粘性不可压流体稳定等温流动Re;;ulpglEuFrρ===22Re;;EuFruuμρ===4.2相似性原理相似性原理7、相似定理相似第二定理：凡同一类现象，即都被同一完整方程组所描述的现象，当单值条件相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似定相似。相似第三定理：描述某现象的各种量之间的关系，可表示成相似准则之间的函数关系可表示成相似准则之间的函数关系。12(,,......,)0nFΠΠΠ=4.3量纲分析量纲分析1、单位与量纲物理量a,在不同的单位制有不同的数值其量纲[a]与单位制无关其量纲[a]与单位制无关2、基本量与导出量基本量的特征：（1）它们的引入与其他物理量无关；（2）它们的数值是直接测量的结果（2）它们的数值是直接测量的结果；（3）它们的单位是人为规定的导出量：与基本量的关系由一个定义式来确定。导出量：与基本量的关系由个定义式来确定。基本量通常为长度l、质量m、时间t，有时还有温度等,它们的量纲分别为[l]=L,[m]=M,[t]=T。[T]=θ导出量的量纲则由基本量的量纲得出。如速度v[v]=LT-14.3量纲分析量纲分析3、Π定理n个变量中前m个变量为基本变量其余为导出变量。将新的组合变12(,,...,)0nfxxx=n个变量中前m个变量为基本变量，其余为导出变量。将新的组合变量Pj表示为Πj，以表示其无量纲特征。可将有量纲函数关系12(,,...,)0nfxxx=化成条件相似的无量纲函数关系12(,,,)nf且有r=n-m。12(,,......,)0rΦΠΠΠ=且有rnm。即：对某过程具有重要性的变量数目减去基本变量的数目，就是独立的无量纲组合变量的数目。新的无量纲组合变量应为原来有量纲量的幂次积量纲量的幂次积。4.3量纲分析量纲分析4、Π定理的应用关键在于对所研究的现象的物理(或/和化学)本质的深刻解理解.第一步:找出决定所研究现象的主定参数,将描述该过程或现象的其他数字特征表示为上述主定参数的函数.第二步:构成新的无量纲变量和无量纲方程第三步:借助于对该现象的数学\物理背景进一步分析,进而得到有用的结果得到有用的结果.4.3量纲分析量纲分析举例1：单摆振动周期问题设摆球重量m，绳长l，且绳φl质量不计，长度不能改变。又设单摆角位移很小且忽略阻力则φ很小，且忽略阻力，则振动方程及边界条件为2dgϕ⎧主定参数：t，l，g，m，φ022sindgdtldϕϕ⎧=−⎪⎪⎪⎪⎛⎞gφ0其他参量：N，φ都是这5个主定参数的函数。cosdmlNmgdtdϕϕ⎪⎪⎛⎞=−⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪如果研究周期，t不再是主定参数，则0:0,0dtdtϕϕ⎪===⎪⎪⎩0(,,,)pTflgmϕ=4.3量纲分析量纲分析0(,,,)pTflgmϕ=φl在此问题中，可以认为有3个独立变量，ｌ,ｇ,ｍ31212lgmTαααββϕΠ=0ϕ2[],[],[],pTTlLgLT−===0jplgmTϕΠ=131112[][][][]pTlgmααα=[],[]1mMϕ==2321220[][][][]lgmαααϕ=[]:0lαα+角移l111212[]:0[]:12lTααα=+=−对TP:对角位移111212[]:0[]:02lTααα=+=−13[]:0mα=13[]:0mα=l10////()ppTlgTlgFϕΠ==0()plTFgϕ=4.3量纲分析量纲分析举例2：池火脉动周期问题分析影响油池火脉动周期（或频率）的影响因素响因素。4.4火灾研究中的无量纲量火灾研究中的无量纲量在火灾科学研究中，具u，有不同形式的佛罗德数是相当重要的。它被定义为惯性力和浮力的比值。常uFrgzset=惯性力和浮