第二章-资金的时间价值与等值计算---第三节

第三节资金的等值计算长沙理工大学水利工程学院一、计算基准点二、资金等值计算公式的符号三、一次支付公式四、等额多次支付公式五、等差多次支付公式六、等比序列资金折算公式一、计算基准点❖将不同时间的各种资金流量(费用和效益)都折算为同一年某一时点的资金,这一年的某时点称为计算基准点。计算基准点可选在计算期内任何一年年初，一般选在建设期或正常运行期的第一年年初。❖《水利建设项目经济评价规范》(SL72—2013)规定：资金时间价值的计算基准点定在建设期的第一年年初；投入物和产出物除当年借款利息外，均按年末发生和结算。二、资金等值计算公式的符号❖P—资金现值,一般指年初或折算到年初的本金。在工程经济分析中，它表示在现金流量图中计算基准点（0点）的投资数额或投资项目的现金流量折算到0点时的价值。❖F—资金终值,指本金折算到第n年末的本利和。❖A—等额年金,指从第1年至第n年每年末发生的等额资金流入或等额资金流出系列。❖G—等差年金（或梯度），资金构成等差系列，相临两期资金支出或收入的差额。❖i—利率或折现率（把未来的现金流量折算为现在的现金流量时所使用的利率）。❖n—计息次数或计息周期数,通常以年为单位。三、一次支付公式0123nF=？P(已知）…t(年)一次支付现金流量图❖一次支付是指现金流量的流人或流出均在一个时点上一次发生。❖对于所考虑的系统，在考虑资金时间价值的条件下，现金流人(F)恰恰能补偿现金流出(P)，则F与P是等值的。（一）一次支付终值公式0123nF=？P(已知）…t(年)一次支付现金流量图1、已知本金P，利率i，求n年后的终值F。第n年末的本利和：Fn＝P(1+i)n=P×(F／P，i，n)(1+i)n称为一次支付终值系数，记为(F/P，i，n)。(1+i)n又称为一次支付终值因子或一次支付复利系数。某投资者购买了500万元的债券，限期10年，年利率6%，到期一次还本付息。按照复利计算法，则10年后的本利和F是多少？2、计算例题解：方法1F=P(1+i)10=500×（1+0.06）10=500×1.7908=895.4（万元）方法2F=P×(F／P,i,n)=500×1.7908=895.4（万元）（二）一次支付现值公式0123nF(已知）P=？…t(年)一次支付现金流量图1、已知n年后的期值F，利率i，求现值P。一次收付期值公式的逆运算一次收付现值因子或一次收付复利系数（P/F，i，n）2、计算例题已知10年后F=100万元，i=8%，求现值P。解：P=F/(1+i)n=F×（P/F，8%，10）=100×0.4632=46.32（万元）1（1+i)n),,/()1(1niFPFiFPn=+=四、等额多次支付公式❖多次支付是指现金流人和流出在多个时点上发生，而不是集中在某个时点上。❖在工程经济实践中，多次支付是最常见的支付形式，等额多次支付是其中的一种。t(年)等额多次支付现金流量图…AAAAAAF=?01234n-1n（一）等额支付终值公式（已知A求F）等额支付终值计算现金流量图1.己知一系列发生在每年年末的等额资金A，求n年后的终值F。F=?思路：将各年末的A值按一次支付终值公式，折算到n年年末，然后求和：F=A(1+i)n-1+A(1+i)n+…+A(1+i)2+A(1+i)1+A=A〔(1+i)n-1+(1+i)n+…+(1+i)2+(1+i)1+1〕等比数列求和公式等额支付终值因子或等额年金终值系数（F/A，i，n）F=A(F／A，i，n)某工程项目建设期为4年，在此期间，每年年末向银行贷款500万元，年利率i=7%,求在工程建设期结束时应一次还贷多少万元？2、计算例题解：方法1方法2F=A×(F／A,i,n)=500×4.4399=2219.95（万元）（二）等额支付现值公式（已知A求P）等额支付现值计算现金流量图1.己知分期支付等额年值A,求现值P。P=?…………t(年)01234n-1nAAAAAA思路：由一次支付终值公式及等额支付终值公式进行推导。等额支付现值因子或等额支付现值系数（P/A，i，n）P=A(P／A，i，n)若己知某企业欲购买一台设备，每年收益40万元，该设备可用15年，不计残值。折现率i=7%,试计算该设备各年收益的现值。2、计算例题解：方法1方法2P=A×(P／A,i,n)=40×9.1079=364.32（万元）（三）等额支付偿债基金（基金存储）公式（已知F求A）基金存储计算现金流量图1.己知终值F,求与之等价的等额年值A。…………t(年)01234n-1nAAAAAA已知F基金存储因子或等额支付偿债基金系数（A/F，i，n）A=F(A／F，i，n)己知某项目15年后需要更换机组，费用为300万元，i=7%,求在这15年内每年年末应提存多少基本折旧基金？2、计算例题解：方法1方法2A=F×(A／F,i,n)=300×0.0398=11.94（万元）（四）等额支付资金回收公式（已知P求A）等额支付资金回收计算现金流量图1.己知现值P,求与之等价的等额年值A。已知P…………t(年)01234n-1nAAAAAA=？资金回收因子或资金回收系数（A/P，i，n）A=P(A／P，i，n)购买某设备需投资50万元，并知该设备可用15年，期末无残值。折现率i=8%，问每年获得多少收益才不会亏本？2、计算例题解：方法1方法2A=P×(A／P,i,n)=50×0.1168=5.84（万元）五、等差多次支付公式（一）等差支付终值公式（已知G求F）1.若每年年末向银行存款，存款额分别为：0、G、2G、3G、…、（n-2)G、（n-1)G，存款利率为i,求n年后的本利和F.等差支付终值计算现金流量图❖思路：利用F=P(1+i)n公式F=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+…+(n-2)G(1+i)1+(n-1)G将等式两端各乘以(1+i)，则得:F(1+i)=G(1+i)n-1+2G(1+i)n-2+…+(n-2)G(1+i)2+(n-1)G(1+i)以上两式相减，得:Fi=G(1+i)n-1+G(1+i)n-2+…+G(1+i)2+G(1+i)-(n-1)G=G〔(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+(1+i)2+(1+i)+1〕-nG等差多次支付终值因子（F/G，i，n）F=G(F／G，i，n)某公司现有挖掘机1台，在使用期5年内，其维修费在第1、2、3、4、5年末的金额分别为0元，200元，400元，600元和800元，若年利率以10%计，试计算费用的终值。2、计算例题解：方法1方法2F=G×(F／G,i,n)=200×11.051=2210.2（元）（二）等差支付现值公式（已知G求P）1.由于某项计划的需要，在n年期间，每年年末须从银行提取存款额分别为：0、G、2G、3G、…、(n-2)G、(n-1)G，若存款利率为i，问在第一年年初存入银行的本金P应为多少？等差支付现值计算现金流量图…P=?t年01234n-1nG2G3G(n-2)G(n-1)G❖一次支付终值公式❖等差支付终值公式等差多次支付现值因子（P/G，i，n）P=G(P／G，i，n)某公司现有挖掘机1台，在使用期5年内，其维修费在第1、2、3、4、5年末的金额分别为0元，200元，400元，600元和800元，若年利率以10%计，试计算费用的现值。2、计算例题解：方法1方法2P=G×(P／G,i,n)=200×6.8618=1372.36（元）（三）等差支付年值公式（已知G求A）1.由于某项计划的需要，在n年期间，每年年末须从银行提取存款额分别为：0、G、2G、3G、…、(n-2)G、(n-1)G，若存款利率为i，试计算分期等付的年金值A。等差支付现值计算现金流量图…P=?t年01234n-1nG2G3G(n-2)G(n-1)G❖等额支付资金回收公式❖等差支付现值公式等差多次支付年值因子（A/G，i，n）A=G(A／G，i，n)),,/()1(1)1(NIGAGiiiniiGAnn=−+−−+=),,/()1(1)1(NIGAGiiiniiGAnn=−+−−+=某公司现有挖掘机1台，在使用期5年内，其维修费在第1、2、3、4、5年末的金额分别为0元，200元，400元，600元和800元，若年利率以10%计，试计算费用的年值。2、计算例题解：方法1方法2A=G×(A／G,i,n)=200×1.8101=362.02（元）),,/()1(1)1(NIGAGiiiniiGAnn=−+−−+=（四）递减等差序列公式图a递减等差序列现金流量图…Pt年01234n-1nG2G（n-3)G(n-2)G(n-1)G递减等差序列，其现金流量图如下图a所示。分析思路：可将其看成是如图b所示等额序列和图c所示的递增等差序列之差，以推导相应的折算公式。n-2图c递增等差序列现金流量图…Pt年01234n-1nG2G3G(n-2)G(n-1)G…t年P01234n-1n图b等额序列现金流量图AA=(n-1)G六、等比序列资金折算公式（一）几何（等比）序列现值公式现假定第一年末的费用为Q，则第二年末至第n年末的费用分别为:Q(1+j)，Q(1+j)2,…，Q(1+j)n-1，折现率为i，求现值P。几何（等比）序列现值计算现金流量图❖思路：利用一次支付现值公式),,/()1(1niFPFiFPn=+=（二）几何（等比）序列终值公式现假定第一年末的费用为Q，则第二年末至第n年末的费用分别为:Q(1+j)，Q(1+j)2,…，Q(1+j)n-1，折现率为i，求终值F。几何（等比）序列终值计算现金流量图❖等比序列现值公式❖一次支付终值公式F=P(1+i)n资金等值计算基本公式练习题：❖某项目资金流动情况如下图所示，求现值及第四期期末的等值资金（i=10%）（单位：万元）❖作业：1～8题。