一阶微分方程常见类型及解法

13-12020/3/9类型一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程的常见类型及解法类型二、齐次方程类型四*、可用简单变量代换求解的微分方程类型三、一阶线性微分方程（含贝努利方程）13-22020/3/9分离变量类型一、可分离变量的微分方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22两边同时积分()d()dgyyfxx()d()dgyyfxxC---隐式通解只是指一个原函数或可分离变量的微分方程已分离变量的微分方程13-32020/3/9例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意常数)或说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.13-42020/3/9例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得2dd,1yxxyx两边积分得由初始条件得C=1,故所求特解为1)0(y故通解为21yxC（隐式通解）或21Cyx（显式通解）,（C为任意常数).211yx.21lnln()2n1,lyxC13-52020/3/9类型二、齐次方程⑴令,yux⑵代入原方程得)(dduxuxudd,()uxuux⑷两边积分,得dln,()uxCuu⑸积分后再用代替u,便得原方程的通解.求解步骤:⑶分离变量:（当()uu时）13-62020/3/9例3.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为sinyCxx(C为任意常数)。13-72020/3/9例4.解微分方程解:2d2,dyyyxxx变为方程形,xyu令则有22uxuuu分离变量2dd,uxuux积分得,lnln1lnCxuu11d()d1xuuux即代回原变量得通解即Cuux)1(()xyxCy(C为任意常数)13-82020/3/9类型三、一阶线性微分方程d)d()(PxxyyQx若,若,称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程;()Qx0()0Qx13-92020/3/90)(ddyxPxy1.解一阶线性齐次微分方程分离变量得两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为()dPxxyCe13-102020/3/9对应齐次方程通解xxPeCyd)(对应齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解一阶线性非齐次微分方程)()(ddxQyxPxy常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(()d()d()dPxxPxxyeQxexCy【即即设通解xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得一定要记住】13-112020/3/9例5.解方程解:原方程通解为522(),()(1).1PxQxxx13-122020/3/9d()()(0,1)dyPxyQxyx1.解伯努利方程①变形得②令1,zy③利用一阶线性非齐次微分方程的方法求解，并将变换回代。求解方法：即(1)(1))d)d((PxQzzxx13-132020/3/9例6.解方程解:原方程为是伯努利方程，其中1(),()ln,2PxQxxxx，令121zyy，则有1lnzzdxxdxx，其通解为11d()d(ln)d(ln),xxxxzexxexCxxxxC所以所求方程的通解为1(ln).xxxxCy13-142020/3/9类型四、可用简单变量代换求解的微分方程解题思路:⑴观察微分方程的形式，作适当的变量代换，将原微分方程转化为可分离变量方程、齐次方程或一阶线性微分方程。⑵利用可分离变量方程、齐次方程或一阶线性微分方程的求解方法，求出变换后的微分方程的通解。⑶将变量代换中的变量代回，即可求得原微分方程的通解。13-152020/3/9例7.求下列微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan(（C为任意常数）所求通解:13-162020/3/9例8.求下列微分方程的通解解:令1,1XxYy，则,,,2dxdXdydYxyXYxyXY，故原方程为dYXYdXXY，即11YdYXYdXX，令YuX，则dYduuXdXdX，故11duuuXdXu，即211udXduuX。13-172020/3/9将,1,1YuXxYyX代回，得2111arctanln[1()]lnln1121yyxxxC，21arctanln(1)ln2lnuuXC整理化简得1arctan221(1)(1)yxxyCe。续解13-182020/3/9例9.求以21CyCxx为通解的微分方程。综合训练解:212CyCx，232Cyx，得3212Cxy，21212CCyyxyx，将此12,CC的表达式代入21CyCxx有321111()22CyCxyxyxxyxx，整理得所求微分方程为20xyxyy。13-192020/3/9例10.求方程0()()xfxftdtx的通解．解题思路:此方程称为积分方程，通过求导将其转化为微分方程，然后求解。解:由题意知()fx可导，故在两边同时对x求导，得()()1fxfx，即()()1fxfx，此为一阶线性非齐次微分方程，其通解为d(1)d()1d()1,xxxxxfxeexCeeCCe，又(0)0f，解得1C，所以()1xfxe。注:积分方程中通常隐藏着初始条件。13-202020/3/9例11.求方程2dyydxyx的通解．解题思路:将x视为函数，y视为自变量，解此方程。解:2dxyxdyy，即1dxxydyy，此为一阶线性非齐次微分方程，其通解为11()dd321111d()33yyyyxeyeyCyCyCyy。13-212020/3/9例12.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为m9000kg的飞机，着陆时的水平速度为0v700km/h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010)k．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注kg表示千克，km/h表示千米/小时．）．13-222020/3/9解:根据牛顿第二定律得kvdtdvm，所以dvkdtvm．两端积分，得通解tmkCev，代入初始条件00vvt，解得0vC，故0()ktmvtve．飞机滑行的最长距离为0000()1.05ktmmvmvxvtdtekk(km)．13-232020/3/9例13.设曲线()(0)yyxx过点(0,1)，且()0yx．如果曲线上任一点P的法线段PQ（其中Q是过P点所作曲线法线与x轴的交点）的中点位于直线13yx上，求此曲线方程．解:设曲线上任一点为(,)(0)Pxyx，则点P处的法线方程是1()YyXxy，令0Y得Xxyy，故Q点坐标为(,0)xyy，其中点为(,)22yyyx，它位于13yx上，所以1()232yyyx，即23xyy，13-242020/3/9上列方程为齐次方程，令yux，则得232ududxuux，即12()12dxduuux，两边同时积分得21(2)uCxu，整理得2(2)yxCyx．由于()(0)yyxx为连续曲线，且过点(0,1)，故求得1C，因此所求曲线方程为2(2)yxyx，进而得1124122yxx(0)x．续解