3.3.1-两条直线的交点坐标&3.3.2-两点间的距离-数学必修2

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离(1)理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标;(2)能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系.(两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解)（3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.（4）理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，初步了解解析法.二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。探究1：已知两直线1.两条直线的交点：如何判断这两条直线的关系？观察表一，并填空.11112222:0:0lAxByClAxByC几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线l1与l2的交点是A(,)Aab:0lAxByC:0lAaBbC11122200AaBbCAaBbC相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组的解；探究2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？11122200AxByCAxByC如果两条直线1110AxByC和2220AxByC反之，如果方程组11122200AxByCAxByC只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线交点。1110AxByC和2220AxByC例1：求下列两直线交点坐标：3420220xyxy解：解方程组12:3420;:220lxylxy所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2）.(如图所示)2,2xy得l1Ml2练习:求下列各对直线的交点坐标，并画出图形答案：364(1)(,)77(2)(2,3)1212(1):2312,:24;(2):2,:32120.lxylxylxlxy表示何图形，图形有何特点？思考与探究：342(22)0xyxy=0时，方程为3x+4y-2=0=1时，方程为5x+5y=0=-1时，方程为x+3y-4=0解：先以特殊值引路：变化时，方程当xyl20l1l3作出相应的直线探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）是过直线结论引申：共点直线系方程：111222()0AxByCAxByC的交点的直线系方程。1110AxByC和2220AxByC练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:解：设直线方程为因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：λ=1将λ=1代入即所求直线方程12:220,:220lxylxy22(22)0xyxy22(22)0xyxy330xy得0.xy我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否有解有没有关系?如果有，是什么关系？2．两条直线的位置关系：探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点．1l2l思考：(1)若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？(2)若方程组有无数解，两直线应是什么位置关系？设两条直线方程为：11112222:0:0lAxByClAxByC解方程组当A1，A2，B1，B2全不为零时（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C11112220(1)0(2)AxByCAxByC分类讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解1221211212211221,BCBCACACxyABABABAB⒉当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0时，方程组无解⒊当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1＝0时，方程组有无穷多解。结论：时，两条直线相交，交点坐标为当1122ABAB1221211212211221(,)BCBCACACABABABAB当111222ABCABC时，两直线平行；当时，两条直线重合。111222ABCABC例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.121212(1):0,:33100(2):340,:6210(3):3450,:68100lxylxylxylxylxylxy033100xyxy53xy55(,)33解：（1）解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标为340,(1)6210,(2)xyxy（2）故12,ll平行。由于314621解方程组方法一：(1)2(2)得90,矛盾，所以方程组无解，两直线无公共点，故12,ll平行。方法二：所以方程组无解，两直线无公共点，.（3）3450,(1)68100,(2)xyxy所以方程组有无数解，由于3456810解方程组方法一：(1)2得68100,xy因此，化成同一个方程，表示同一直线，方法二：(1),(2)12,ll重合。12,ll重合。练习:(1)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标答案：2723(,)168(1)相交，交点坐标(2)相交，交点坐标（0，）(3)平行121212(1):2312,:421;22(2):2640,:;33(3):(21)3,:(21)2.lxylxylxylyxlxylxy23为实数，两直线1:10laxy2:0lxya相交于一点，a练习(2)：已知求证：交点不可能在第一象限及x轴上.211aya1,1axa分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.)1a（否则两直线平行，无交点），解：因为解得1a当时,2101aya10,1axa211(,)11aaaa则交点在第二象限。)1a当时,2101aya211(,)11aaaa则交点x综上所述，交点不可能在第一象限及轴上.x轴下方。在3.两点间的距离公式：,ABCDABxxCDyy111222(,),(,)PxyPxy它们坐标分别是、、、，Ax（，0）0Bx（，）0Cy（，）0Dy（，）探究4：那么|AB|、|CD|怎样求？x（1）如果A、B是轴上两点，C、D是轴上两点，(2)已知，试求两点间的距离。y若12yyxoy1221PPxx222(,)Pxy2x1x111(,)Pxy若12xxxoy1221PPyy2y1y212(,)Pxy111(,)Pxy分别向y轴和x轴作垂线，垂足分别为12MPN12与P112200NyMx，，，直线相交于点Q。12MPN12与P在平面直角坐标系中，从点111222(,),(,)PxyPxy若1212,xxyyOx1P2Py1M2N1N2MQ2221212PPPQQP如图12RtPPQ中，为了计算其长度，过点1P向x轴作垂线，垂足为110Mx，过点220,Ny，2P向y轴作垂线，垂足为Ox1P2Py1M2N1N2MQ于是有1122121221,PQMMxxQPNNyy222122121PPxxyy所以22122121()()PPxxyy所以两点间的距离为111222(,),(,)PxyPxy特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离22OPxy(1,2),(2,7),ABP||||PAPB||PA例3已知点在轴上求一点，使，并求的值。2222102207xx解得x=1。所以，所求点P（1，0）且解：设所求点为P（x,0），于是2225411xxxx22PAPB由得22(11)(02)22PAx即证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系.ABCDxy例4证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。则A(0，0)。设B(ａ，0)，D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，因为2222222,ABaCDADBCbc222222(),()ACabcBDabc所以22222222()ABCDADBCabc222222()ACBDabc所以2222ABCDADBC22ACBD因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。练习(1):求下列两点间的距离答案：(1)8(2)3(3)210(4)13(1)(6,0),(2,0)(2)(0,4),(0,1)(3)(6,0),(0,2)(4)(2,1),(5,1)ABCDPQMN8a：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的距离是17，求练习（2）a的值。答案：mxymxmym12123.已知两直线：（3）453，：2（5）8.当为何值时，与：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？llll1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程．AxByABMAB2.设点在轴上，点在轴上，线段的中点坐标是（2，1），求线段的长度.xy1、155-160；答案题222、由意知：A（4，0）、B（0，2）所以AB（40）（02）25.7时，两直线平行.当舍去.1时，两直线重合，故当71或所以08））（5（2）（37时两直线相交.1且即：71且所以07）1）（即：（08））（5（3(1)3、mmmmmmmmmmmmmm1.方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系时，两条直线相交，交点坐标为当1122ABAB1221211212211221(,)BCBCACACABABABAB当111222ABCABC时，两直线平行；当时，两条直线重合.111222ABCABC2.两点间的距离为22122121()()PPxxyy不为失败找理由，要为成功找方法。