第六节--利用导数研究函数零点问题

利用导数研究函数零点问题第六节返回考点一研究函数零点个数返回[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；[解]当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)．返回(2)证明：f(x)只有一个零点．[解]证明：因为x2＋x＋10，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2x2＋2x＋3x2＋x＋12≥0，仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－160，f(3a＋1)＝130，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．返回[解题技法]判断函数零点个数的3种方法直接法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决定理法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可画图法令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数返回[对点训练]设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；解：由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex(x0)，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.返回设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．解：由题意知g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．当x∈(0,1)时，φ′(x)0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23，又∵φ(0)＝0.返回结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，①当m23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0m23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m23时，函数g(x)有两个零点．返回考点二已知零点存在情况求参数范围返回[典例](2019·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋1x＝－2x2－x＋1x，令f′(x)＝0，得x＝12(负值舍去)，当0x12时，f′(x)0；当x12时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为0，12，单调递减区间为12，＋∞.返回[解]令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－lnxx.令g(x)＝x－lnxx，其中x∈13，3，则g′(x)＝1－1－lnxx2＝x2＋lnx－1x2，令g′(x)＝0，得x＝1，当13≤x1时，g′(x)0；当1x≤3时，g′(x)0，∴g(x)的单调递减区间为13，1，单调递增区间为(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在13，3上有两个零点，g13＝3ln3＋13，g(3)＝3－ln33，3ln3＋133－ln33，∴实数a的取值范围是1，3－ln33.[典例](2019·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(2)若函数f(x)在13，3上有两个零点，求实数a的取值范围．返回[解题技法]本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．返回解：方程f(x)＝x2－103x＋m在区间[1,3]上有解，即lnx－x2＋73x＝m在区间[1,3]上有解．令h(x)＝lnx－x2＋73x，则h′(x)＝1x－2x＋73＝－3x＋12x－33x.∴当x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表：x11，323232，33h′(x)＋0－h(x)43极大值ln3－2∵h(1)＝43，h(3)＝ln3－243，h32＝ln32＋54，∴当x∈[1,3]时，h(x)∈ln3－2，ln32＋54，∴m的取值范围为ln3－2，ln32＋54.设函数f(x)＝lnx－x，若关于x的方程f(x)＝x2－103x＋m在区间[1,3]上有解，求m的取值范围．[对点训练]返回“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十一）”(单击进入电子文档)