3.3利用导数研究函数的极值和最值(理)copy

第1页共8页§3.3利用导数研究函数的极值和最值知识要点梳理一.函数的极值1.函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值奎屯王新敞新疆2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)奎屯王新敞新疆(2)求方程f′(x)=0的根奎屯王新敞新疆(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值奎屯王新敞新疆二.函数的最大值与最小值1.函数的最大值与最小值：在闭区间ba,上图像连续不断的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．2.利用导数求函数的最值步骤:设函数)(xf在在（a,b）内可导，在闭区间ba,上图像连续不断，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，得出函数)(xf在ba,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。疑难点、易错点剖析1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小奎屯王新敞新疆（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个奎屯王新敞新疆（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf奎屯王新敞新疆（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy（V）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。（Vi）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x|在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。2.对于函数的最值问题，应注意以下几点：（1）在闭区间ba,上图像连续不断的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．（2）在开区间(,)ab内图像连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；第2页共8页（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（4）函数)(xf在闭区间ba,上的图像连续不断，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0xxxfxx但在1,1上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续不断的（如右图）。(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。（6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，则min()()fxfa，max()()fxfb；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则min()()fxfb，max()()fxfa。直击考点考点一求含字母参数的函数的极值考例1.（06安徽卷）设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。思路分析：先求出'()fx,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：（Ⅰ）∵32fxxbxcx，∴232fxxbxc。从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc＝32(3)(2)xbxcbxc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx，从而2()36gxx，令2()36gxx=0，解得2x，由2()360,22gxxxx解得或，2()360,22gxxx解得由此可知，函数()gx的单调递增区间是(,2)和(2,)；单调递减区间是(2,2)；进而得()gx在2x时，取得极大值，极大值为42，()gx在2x时，取得极小值，极小值为42。锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数.)(23axxxxf(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(轴仅有一个交点.解：(I)'()fx=32x－2x－1若'()fx=0，则x==－13，x=1当x变化时，'()fx，()fx变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，+∞)'()fx+0－0+()fx极大值极小值∴()fx的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa(II)函数322()(1)(1)1fxxxxaxxa由此可知，取足够大的正数时，有()fx0，取足够小的负数时有()fx0，所以曲线y=()fx与x轴至少有一个交点结合()fx的单调性可知：当()fx的极大值527a0，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当()fx的极小值a－10即a(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它第3页共8页在(－∞，－13)上。∴当5(,)27a∪(1，+∞)时，曲线y=()fx与x轴仅有一个交点。考点二求函数的最值考例2.已知a为实数，))(4()(2axxxf（1）若0)1(f，求)(xf在[－2，2]上的最大值和最小值；（2）若)(xf在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有'()0fx,从而得到关于a的不等式。解:(Ⅰ)由原式得,44)(23axaxxxf∴.423)(2axxxf由0)1(f得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或x=－1,当[2,2]x在变化时，'(),()fxfx的变化如下表4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272fxffxfff极小极大又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750(2)解法一:423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(ff即084.048aa∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(xf即,04232axx由求根公式得:21,21212()3aaxxx所以.423)(2axxxf在1,x和,2x上非负.由题意可知,当x≤－2或x≥2时,)(xf≥0,从而x1≥－2,x2≤2,即6122.6122aaaa解不等式组得:－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].锦囊妙计：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)fxfx或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由'()0('()0)fxfx或，x(,)ab恒成立解出的参数的取值范围确定。举一反三：1.（06浙江卷）32()32fxxx在区间1,1上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解：2()363(2)fxxxxx，令()0fx可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，()fx0，当0x1时，()fx0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C2.(06全国卷Ⅱ)已知a≥0，函数f(x)=（2x-2ax）xe(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.x(2,1)14(1,)3434(,2)3)(xF0-0)(xF递增极大值92递减极小值5027递增第4页共8页427-53-1y=F(x)y=kyxO解：（I）对函数()fx求导数得xeaaxxxxf)222()(2令,0)(xf得［2x+2(1－a)x－2a］xe=0从而2x+2(1－a)x－2a=0解得11,112221aaxaax当x变化时，()fx、'()fx的变化如下表x),(1x1x),(21xx2x),(2x)(xf+0－0+)(xf递增极大值递减极小值递增∴()fx在x=1x处取得极大值，在x=2x处取得极小值。当a≥0时，1x－1,2x)(,0xf在21,xx上为减函数，在),(2x上为增函数而当0x时)(xf=0)2(xeaxx，当x=0时，0)(xf所以当112aax时，)(xf取得最小值（II）当a≥0时，)(xf在1,1上为单调函数的充要条件是12x即1112aa，解得a43于是)(xf在[-1，1]上为单调函数的充要条件是43a即a的取值范围是3[,)4考点三利用导数解决函数的综合问题考例3.(06年深圳市模拟)已知函数()fxxb的图象与函数23)(2xxxg的图象相切,记()()()Fxfxgx.（Ⅰ）求实数b的值及函数()Fx的极值；（Ⅱ）若关于x的方程kxF)(恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.思路分析:首先由()fxxb是23)(2xxxg的切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数()yFxyk　与　的图像,利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令.1,321),()(xxxgxf故得∴函数()fx的图象与函数()gx的图象的切点为).0,1(,将切点坐标代入函数()fxxb可得1b.或:依题意得方程)()(xgxf，即0222bxx有唯一实数解,故0)2(422b，即1b254)23)(1()(232xxxxxxxF,故)35)(1(3583)(22xxxxxF,令0)(xF,解得1x,或35x.列表如下:从