导数专题之函数零点与方程问题教师版

导数专题之函数零点与方程问题函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．2．三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3.(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(3)已知函数零点情况求参数的步骤①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．例1．函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是____．解析：当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x0时，f′(x)＝2＋1x＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.类型二、求参数的值或范围例2．若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．类型三、研究函数图像的交点个数例3、已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－2a＝－2，所以a＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－10，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)xh(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．例4.设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；解析：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m＞23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m＞23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点．例3.（2017全国1理21）已知函数2e2exxfxaax.（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围.解析（1）由于2e2exxfxaax，所以22e2e1e12e1xxxxfxaaa.①当0a„时，e10xa，2e10x，从而0fx恒成立，所以fx在R上单调递减.②当0a时，令0fx，从而e10xa，得lnxa．xlna，lnalna，fx′0fx极小值综上所述，当0a„时，()fx在R上单调递减；当0a时，()fx在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增.（2）由（1）知，当0a„时，fx在R上单调递减，故fx在R上至多一个零点，不满足条件．当0a时，min1ln1lnffaaa．令11ln0gaaaa，则2110gaaa，从而ga在0，上单调递增.而10g，所以当01a时，0ga；当1a时0ga；当1a时，0ga.由上知若1a，则min11ln0fagaa，故0fx恒成立，从而fx无零点，不满足条件．若1a，则min11ln0fagaa，故0fx仅有一个实根ln0xa，不满足条件；若01a，则min11ln0fagaa，注意到ln0a，22110eeeaaf，故fx在1lna，上有一个实根.而又31ln1lnlnaaa，且33ln1ln133ln1ee2ln1aafaaaa33132ln1aaaa331ln10aa，故fx在3lnln1aa，上有一个实根．又fx在lna，上单调递减，在lna，单调递增，故fx在R上至多两个实根．综上所述，01a．评注对于已知零点个数，求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上，对于一般的赋值方法要把握两点：①限定要寻找0x的范围，如本题中分别在,lna及ln,a上各寻找一个零点；②将函数不等式变形放缩，据0x的范围得出0x.在本题中，实际上在区间,lna上找到0x，使得00fx，则说明fx在区间,lna上存在零点，在区间ln,a上找到0x，使得00fx，则证明fx在区间ln,a上存在另一个零点.小结：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【针对性练习】1．设f(x)＝x3＋bx＋c，若导函数f′(x)0在[－1，1]上恒成立，且f(-21)·f(21)0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内根的情况是()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根【答案】C【详解】对于函数f(x)＝x3＋bx＋c，其导函数f′(x)0在[－1，1]上恒成立，所以得函数在区间[－1，1]上单调递增，又因为，所以函数在区间内至少有一个零点；由于函数在区间[－1，1]上单调递增，所以函数在区间[－1，1]内有唯一的零点。答案选C。2．函数在上有三个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，函数恒成立，不合题意，所以，作函数与的图象如图，由图象可知，当时，两图象必有一个交点，故当时，两图象有两个交点，则有两个正根，即有两个正根，的图象在轴右边由两个交点，记，在上递减，在递增，故，故时，两图象有两个交点；故若函数有三个不同零点，则，的取值范围是，故选D.3．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可得f（x）=0，即为ax3﹣2x2+1=0，可得a=，令g（x）=，g′（x）=可得x＜，x＞时，g（x）递减；当＜x＜0，0＜x＜时，g（x）递增．作出g（x）的图象，可得g（x）的极大值为g（）=，由题意可得当a＞时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，故选：D．4.（2017全国3理11）已知函数2112eexxfxxxa有唯一零点，则a（）.A．12B．13C．12D．1解析由条件2112(ee)xxfxxxa，得：221(2)1211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)xxxxfxxxaxxxa2112(ee)xxxxa.所以2fxfx，即1x为fx的对称轴，由题意，fx有唯一零点，故fx的零点只能为1x，即21111(1)121(ee)0fa，解得12a．故选C.5.已知函数e0()ln0xxfxxx，，，，()()gxfxxa．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是________．[–1，+∞）6．已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝12x2＋x＋1有唯一公共点．7．已知函数的图像过点，且在处取得极值.（1）若对任意有恒成立,求实数的取值范围;（2）当,试讨论函数的零点个数.【详解】（1）∵点在函数f(x)图像上,所以-3=aln1+b,所以b=-3.所以当x∈时，，x∈时，.所以函数在上为增函数，在为减函数.因为所以m≥-ln3-1,即实数m的取值范围为.（2）的定义域为,.所以令,得.x1+0-0+y增极大减极小增而,∴当,即,函数有3个零点当,即,函数有2个零点.当即,函数有1个零点8.(全国卷II理21）已知函数2()exfxax．（1）若1a，证明：当0x时，()1fx；（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．【解析】（1）当1a时，()1fx等价于2(1)e10xx．设函数2()(1)e1xgxx，则22()(21)e(1)exxg'xxxx．当1x时，()0g'x，所以()gx在(0,)单调递减．而(0)0g，故当0x时，()0gx，即()1fx．（2）设函数2()1exhxax．()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点．（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；（ii）当0