极大值与极小值

3.3.2极大值与极小值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）确定函数的定义域（2）求出函数的导函数（3）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（5）确定f(x)的单调区间2、导数的应用：判断单调性、求单调区间yxOabyf(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即波峰波谷处的值------不一定最大值或最小值）使函数取得极值的点x0称为极值点（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；观察与思考：极值与导数有何关系？对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xff(x1)0f(x2)0f(x3)0f(x4)0观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0探究活动请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？f(x)0yxOx1abyf(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)01、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值；已知f’(x0)=0，二、判断函数极值的方法x2•导数为0的点不一定是极值点；•若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，左负右正为极小求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；三、函数极值的步骤例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.解：列表解得令.21,0)(,12)(xxfxxfx)(xf)(xf21)21,(),21(0)21(f极小值时,21当x因此,.49)21f(x)有极小值f(例2求函数的极值。314xx31y3x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=17/3当x=2时，y极小值=－5++0-0极大值17/3极小值-5例3:下列函数中，x=0是极值点的函数是()A.y=－x3B.y=x2C.y=x2－xD.y=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。Bx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例3:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②3xy如1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D练习：abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O（2006年天津卷)函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1B.2C.3D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfA注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或通过验证，都合要求，故应选择A。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验3、32()fxaxbxcx4.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；0x'()yfx0x2,9,12abc.10x)0(23(2/acbxaxxf　　）＝或－23332acab5)1(cbaf0412)2(023)1(//＝cbafcbaf略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用