离散数学-代数结构

1第九章代数系统主要内容二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统代数系统定义及其实例子代数积代数代数系统的同态与同构29.1二元运算及其性质定义9.1设S为集合，函数f：SSS称为S上的二元运算，简称为二元运算．S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．例1(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是．(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是．(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是．3实例(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(5)S为任意集合，则∪、∩、－、为P(S)上二元运算.(6)SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算.njiRaaaaaaaaaaRMijnnnnnnn,...,2,1,,)(2122221112114一元运算的定义与实例定义9.2设S为集合，函数f:S→S称为S上的一元运算，简称一元运算.例2(1)求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算(2)求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算(3)求共轭复数是复数集合C上的一元运算(4)在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.(5)设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算.(6)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.5二元与一元运算的表示1．算符可以用◦,∗,·,,,等符号表示二元或一元运算，称为算符.对二元运算◦，如果x与y运算得到z，记做x◦y=z对一元运算,x的运算结果记作x.2．表示二元或一元运算的方法:解析公式和运算表公式表示例设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=3，0.5∗(3)=0.56运算表：表示有穷集上的一元和二元运算运算表二元运算的运算表一元运算的运算表a1a2...ana1a2...ana1a1a1a2…a1ana2a1a2a2…a2an………ana1ana2…anana1a2...anaia1a2…ana1a2...ana1a2...ana1a1a1a2…a1ana2a1a2a2…a2an………ana1ana2…anana1a2...anaia1a2…ana1a2...ana1a2...ana1a1a1a2…a1ana2a1a2a2…a2an………ana1ana2…anana1a2...anaia1a2…ana1a2...ana1a2...ana1a1a1a2…a1ana2a1a2a2…a2an………ana1ana2…anana1a2...anaia1a2…an7例3设S=P({a,b})，S上的和∼运算的运算表如下运算表的实例{a,b}{a}{b}{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}∼xx{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}∼xx{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}∼xx{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}∼xx{a}{b}{a,b}8二元运算的性质定义9.3设◦为S上的二元运算,(1)若对任意x,y∈S有x◦y=y◦x,则称运算在S上满足交换律.(2)若对任意x,y,z∈S有(x◦y)◦z=x◦(y◦z),则称运算在S上满足结合律.(3)若对任意x∈S有x◦x=x,则称运算在S上满足幂等律.定义9.4设◦和∗为S上两个不同的二元运算,(1)若对任意x,y,z∈S有(x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y),则称◦运算对∗运算满足分配律.(2)若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,则称◦和∗运算满足吸收律.9实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并交相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无10集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交对可分配对可分配有交与对称差对可分配无实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|211特异元素：单位元、零元定义9.5设◦为S上的二元运算,(1)如果存在el(或er)S，使得对任意x∈S都有el◦x=x(或x◦er=x)，则称el(或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元.若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元.单位元也叫做幺元.(2)如果存在l(或r)∈S，使得对任意x∈S都有l◦x=l(或x◦r=r)，则称l(或r)是S中关于◦运算的左(或右)零元.若∈S关于◦运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算◦的零元.12可逆元素和逆元(3)设◦为S上的二元运算,令e为S中关于运算的单位元.对于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得yl◦x=e（或x◦yr=e）则称yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.关于◦运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.13实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+普通乘法01无0x逆元xx逆元x1(x1给定集合)Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法n阶全0矩阵n阶单位矩阵无n阶全0矩阵X逆元XX的逆元X1（X可逆）P(B)并交对称差BB无的逆元为B的逆元为BX的逆元为X14惟一性定理定理9.1设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el=er=e为S上关于◦运算的惟一的单位元.证：el=el◦er(er为右单位元)el◦er=er(el为左单位元)所以el=er,将这个单位元记作e.假设e也是S中的单位元，则有e=e◦e=e.惟一性得证.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意：当|S|2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.15定理9.2设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.证：由yl◦x=e和x◦yr=e得yl=yl◦e=yl◦(x◦yr)=(yl◦x)◦yr=e◦yr=yr令yl=yr=y,则y是x的逆元.假若yS也是x的逆元,则y=y◦e=y◦(x◦y)=(y◦x)◦y=e◦y=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1惟一性定理169.2代数系统定义9.6非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为代数系统,简称代数，记做S,f1,f2,…,fk.实例：(1)N,＋,Z,＋,·,R,＋,·是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法.(2)Mn(R),＋,·是代数系统，＋和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.(3)Zn,,是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分别表示模n的加法和乘法，对于x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn(4)P(S),,,~是代数系统，和为并和交，~为绝对补17代数系统的成分与表示构成代数系统的成分：集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做代数常数.例如：代数系统Z,+,0：集合Z,运算+,代数常数0代数系统P(S),∪,∩：集合P(S),运算∪和∩，无代数常数18代数系统的表示(1)列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）如Z,+,0,P(S),∪,∩(2)列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）如Z,+,P(S),∪,∩(3)用集合名称简单标记代数系统在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用如代数系统Z,P(B)19同类型与同种代数系统定义9.7(1)如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统.(2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统.例如V1=R,+,·,0,1,V2=Mn(R),+,·,,E,为n阶全0矩阵，E为n阶单位矩阵,V3=P(B),∪,∩,,BV1,V2,V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算,2个代数常数.V1,V2是同种的代数系统，V1,V2与V3不是同种的代数系统20V1V2V3+可交换、可结合·可交换、可结合+满足消去律·不满足消去律·对+可分配+对·不可分配+与·没有吸收律+可交换、可结合·可交换、可结合+满足消去律·不满足消去律·对+可分配+对·不可分配+与·没有吸收律∪可交换、可结合∩可交换、可结合∪不满足消去律∩不满足消去律∩对∪可分配∪对∩可分配∪与∩满足吸收律运算性质比较21子代数系统定义9.8设V=S,f1,f2,…,fk是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称B,f1,f2,…,fk是V的子代数系统，简称子代数.有时将子代数系统简记为B.实例N是Z,＋的子代数，N也是Z,＋,0的子代数N{0}是Z,＋的子代数，但不是Z,＋,0的子代数说明：子代数和原代数是同种的代数系统对于任何代数系统V=S,f1,f2,…,fk，其子代数一定存在.22关于子代数的术语(1)最大的子代数：就是V本身(2)最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数(3)最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数(4)若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.例设V=Z,+,0,令nZ={nz|zZ},n为自然数，则nZ是V的子代数当n=1和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数.23积代数定义9.9设V1=A,◦和V2=B,是同类型的代数系统，◦和为二元运算，在集合AB上如下定义二元运算▪，a1,b1,a2,b2AB，有a1,b1▪a2,b2=a1◦a2,b1b2称V=AB,▪为V1与V2的积代数，记作V1V2