(文章)函数最值中的开放型问题

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共2页版权所有少智报·数学专页函数最值中的开放型问题所谓开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的．这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．它重在考查同学们的分析、探索能力和思维的发散性．下面就函数最值中的开放型问题评析两例，以开拓同学们的视野．例1已知函数22()242fxkxxmm和2()1()gxxk．（1）若mk，为实数，那么mk，满足何种条件时，()fx有最大值？求出最大值及相应的x的值．（2）是否存在同时满足下列两个条件的实数对()mk，：①()fx取得最大值时的x值与()gx取得最小值时的x值相同；②k为整数．若存在，求出这样的实数对；若不存在，说明理由．解：（1）当0k≥时，()fx无最大值，所以必有0k，2224224()mmmmfxkxkk∵，当且仅当2420mm≥，即1515m≤≤时，()fx有最大值224mmk，此时242mmxk；（2）21()1xk∵≤，()1gx≥，当()gx取最小值1时，242mmxkk．22224425(1)550kmmmkk≤≤，又k为整数，所以只有1k．此时2421mm，由此解得1m，或3m．即这样的实数对存在，且为(11)，，或(31)，．评析：对于二次函数在指定区间上的最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得．例2已知函数2()fxx，问是否存在正实数q，使得函数()()(21)1gxqfxqx在区间[12]，上的最大值为178，最小值为4．解：若存在这样的q，则222141()()(21)124qqgxqfxqxqxqq．彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共2页版权所有少智报·数学专页（1）若2112qq，即104q时，则(2)417(1)8gg，，此时无解；（2）若21122qq≤≤，即14q≥时，则2max4117()48qgxq，解得18q（不合题意，舍去），或2q．而当2q时，min()(1)4gxg适合；存在这样的q，且2q．（3）若2122qq，即102q时，不合题意．评析：处理函数最值中的开放型问题，一要注意定义域在解题中的制约作用，二要对字母进行合理的分类讨论．