《常微分方程》练习题库参考答案

江苏师范大学数学教育专业《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。2、因p(x)连续，y(x)=y0exp(-dxx0xp(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dxx0xp(x))＞0。如果y0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。3、（1）它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建立的等式是已知关系式。（2）它是常微分方程，理由同上。（3）它不是常微分方程，因y是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。6、y`＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rmf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y`＝f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则dxdy＝－y)q(x,y)p(x,f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y`＝f(x,y)为齐次方程。9、求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得dxdy=xdxdz＋z10、二、计算题1、方程变形为dxdy=2642yxyx，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）作变换21vyux，于是得到dudv＝vuvu42，它已经是齐次方程。2、令z=x+y+1,则dxdz＝1＋dxdy，于是dxdz=1+f(z),只要＋f(z)0,可分离变量得x=)(1zfdz+C3、p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得y=exp(sinx)4、用线性方程通解公式：y=exp(-xdx2)(C+xdx2)dx)=exp(-x2)(C+2exp(-x2))=2+Cexp(-x2)5、公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+x2exp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+31x3)利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=31x3exp(2x)6、x看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为dydx＝x+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp(dy)(c+))exp(dyyy=cexp(y)-y-17、解：将方程变形为x2y2dy=(y-1)dx或1-yy2＝2xdx，当xy0,y1时积分得22x＋y+ln1y+x1=c8、解：这是齐次方程。令y=zx原方程化为－321uudu=xdx两边积分得221z－ln|z|=ln|cx|用z=xy代入得y=c1exp(222yx)y=0也是原方程的解。9、解：.方程右边分子，分母两条直线交点为（x0,y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为dudv＝vuuv22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得122zzdz=udu,积分得33)1(1uzz＝C原方程通积分为y=x+c(x+y+1)3+310、解当0y时，分离变量得xxxyyd1d2等式两端积分得Cxyln)1ln(21ln2即通解为21xCy11、解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e5112、解由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为103023dd)(Cyyxxyxyx即Cyyxx4224213、解令ty，则原方程的参数形式为tytxte（2分）由基本关系式ttxyytd)e1(dd积分有Cttyt)1(e212得原方程参数形式通解Cttytxtt)1(e21e214、解原方程为恰当导数方程，可改写为0)(yy即1Cyy分离变量得xCyydd1积分得通积分21221CxCy15、解方程的特征根为01，52齐次方程的通解为xCCy521e因为ii5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为xBxAxy5cos5sin)(1代入原方程，比较系数得0252512525BABA确定出501A，501B原方程的通解为)5sin5(cos501e521xxCCyx16、解特征方程为01411EA即0322特征根为31，1231对应特征向量应满足0031413111ba可确定出2111ba同样可算出12对应的特征向量为2122ba所以，原方程组的通解为ttttCCyx2ee2ee233117、方程右边分子，分母两条直线交点为（x0,y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为dudv＝vuuv22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得122zzdz=udu,积分得33)1(1uzz＝C原方程通积分为y=x+c(x+y+1)3+318、解：（！）此为贝努利方程。令z=y得dxdz－x2z=2x,它是线性方程。此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z'+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。（2）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z'+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。19、20、21、22、23、24、三、证明题1、证明：设有两个解y1(x),y2(x),则y`1(x)+p(x)y1(x)0,y`2(x)+p(x)y2(x)0,则（y1(x)y2(x)）'`＋y(x)(y1(x)+y2(x))=(y`1(x)+p(x)y1(x))+y`2(x)+p(x)y2(x)0表明y1(x)y2(x)仍是解。2、证明由已知条件，方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。又由已知条件，知0yy是方程的一个解。假如方程的非常数解)(xyy对有限值0x有0)(lim0yxyxx，那么由已知条件，该解在点),(00yx处可向0x的右侧（或左侧）延展．这样，过点),(00yx就有两个不同解0yy和)(xyy．这与解的唯一性矛盾，因此0x不能是有限值．3、证明如果)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次方程0)()(yxqyxpy的解，那么由刘维尔公式有x0d)(0e)()(xttpxWxW现在，0)(xp故有CxWxWxWxt)(e)()(0d00x04、5、补充题库1答案：18―――――――1920――――2728―――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869――――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――122123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――1562157――――162163164――――167168――――173174――――177178――――180181――――184185――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222―――226227――――229230――――233234――――235236――――241