断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算

1ShanghaiUniversity断裂力学FractureMechanics断裂力学第三讲郭战胜[e-mail]办公地点：延长校区力学所317室平时答疑：每周一：5-6节晚修答疑:每周一：18：00-20：30地点：HE108或HE104b2裂纹尖端附近的应力场和位移计算343cos(1sinsin)2222xKrⅠ3cos(1sinsin)2222yKrⅠ3cossincos2222xyKrⅠ0xzyzReImxZyZⅠⅠReImyZyZⅠⅠ0z(平面应力)()2RezxyZⅠ(平面应变)RexyyZⅠ2IijijKfr用张量标记可缩写成Ⅰ型裂纹求解53[(21)coscos]4222KrukGⅠ3[(21)sinsin]4222KrvkGⅠ0w平面应变()xywdzE平面应力3431k平面应变平面应力1[(1)Re(1)Im]uZyZEⅠⅠ1[2Im(1)Re]vZyZEⅠⅠ平面应力1[(12)ReIm]uZyZEⅠⅠ1[2(1)ImRe]vZyZEⅠⅠ平面应变Ⅰ型裂纹求解60raIZ需要注意的是，推导过程中，使用了这个条件，所以。对于稍远处，应该用所示的来确定应力分量和位移分量。前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要求()()(2)afZaⅠ（+）Ⅰ型裂纹求解7Ⅱ型裂纹求解设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用8第一步：解II型Westergaard应力函数求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数所以ReIIIIyZzxReImIIIIIIZzyZzyReReZzZzxReImZzZzyImReZzZzy因为22ReIIIIyZzx222ImReIIIIIIZzyZzy2ReImIIIIIIZzyZzxyReZIIy＝Ⅱ型裂纹求解9得到II型裂纹问题各应力分量表达式为'ReIm2ZyZx'ReZyy‘ZyZxyImRe进而可得到位移分量ZyZEvZyZEuImRe)21()1(ReIm)1(2)1(＝＝平面应变Ⅱ型裂纹求解10第二步：选II型裂纹的()Zz边界条件：0xyy0yax0zyxyz，在处在处选取22()zZzza能够满足全部边界条件。Ⅱ型裂纹求解11222'3/222lim()limlim()lim0zzzzzZzzaaZzza在裂纹表面处0yax2222()zxZzzaxa虚数Re()0Zz0xyy'ReIm2ZyZx'ReZyy‘ZyZxyImRez只有实部且为一常数0IIZz0xyxy满足平板周围的边界条件满足裂纹表面处的边界条件Ⅱ型裂纹求解12将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标az()()2afZa当0)(f趋于常数,设:，00lim()lim()2KfZ右裂尖附近,在很小范围内时0lim2()KZ用解析函数求解II型裂纹尖端应力强度因子的定义式Ⅱ型裂纹求解13第三步：用求II型裂尖附近的应力场和位移场()Zz应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：02()KZ()2KZ若以极坐标表示复变量)sin(cosirrei()(cossin)222KZir则可得到332233cossin222222IIIIIIIIKKKZrirsin2sincos22yrrⅡ型裂纹求解143sin(2coscos)2222xKrⅡ3cossincos2222yKrⅡ3cos(1sinsin)2222xyKrⅡ0xzyz()zxy平面应变0z平面应力3[(23)sinsin]4222KrukGⅡ3[(22)coscos]4222KrvkGⅡ把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式3134k平面应力平面应变Ⅱ型裂纹求解15对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹，由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零，只有z方向的位移不等于零Ⅲ型裂纹求解对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基本方程，可以仿照平面问题的方法导出16反平面(纵向剪切)问题,其位移(,),0wwxyuv根据几何方程和物理方程:1xzxzwrxG1yzyzwryG0xyxyzⅢ型裂纹求解问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与方向平行的作用.2az17单元体的平衡方程:0yzxzxy位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.1(,)Im()wxyZzGⅢImImxzZwGZxxⅢⅢImReyzZwGZyyⅢⅢ边界条件:0,,0yzyxa,0,xzyzzⅢ型裂纹求解222220非零应力分量18选取函数22()lzZzzaⅢ满足边界条件Ⅲ型裂纹求解在裂纹表面处，0yaxIIIZz只有实部而无虚部，有0yz满足裂纹表面处的边界条件yxIITlZzReIIIlZzIm0IIIZz,0yzlxz当或，都有，即由非零应力分量公式知，满足平板周围的边界条件。19取新坐标za()1()(2)IIIaZfaⅢⅢ型裂纹求解同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心移到裂纹的右尖端当0)(f趋于常数,设:，II00lim()lim()2KfZ右裂尖附近,在很小范围内时II0lim2()KZ用解析函数求解III型裂纹尖端应力强度因子的定义式20应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：0IΙΙI2()KZIΙI()2KZ若以极坐标表示复变量)sin(cosirrei则可得到IIIIIIcossin222KZirRecos22Imsin22IIIIIIIIIIIIKZrKZrsin22cos22IIIxzIIIyzKrKr这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的应力场表达式Ⅲ型裂纹求解21则可得到IIIIIIcossin222KZir这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的位移场表达式1222cossin2222IIIIIIIIIIIIKKrZdKi2Recos22Imsin2IIIIIIIIIIIIrZzKrZzK2sin2IIIKrwGⅢ型裂纹求解22()(2)aZaⅠ（+）0lim2IIKZa应力强度因子()2aZa0lim2()KZa()()(2)laZaⅢII0lim2()lKZa注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。23值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应力强度因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的应力强度因子就可以了。24通过前面的推导，各种类型裂尖应力和位移场可表示为)(2)I()I(ijijfrK3,2,1,ji)()I()I(iigrKu3,2,1i若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近25线弹性裂尖场特点三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域内K场是适用的。K场内的位移与成线性比例关系。12r26线弹性裂尖场特点三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与()坐标无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角有关，而与r无关，对于同一种变形模式，角分布函数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。r27应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量——裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。即传统的强度条件判断准则失去意义。应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的应力强度因子。应力强度因子是有限量，它是代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。应力强度因子28aYK——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力aY——裂纹尺寸，即裂纹长或深——形状系数，与裂纹大小、位置有关应力强度因子一般写为：应力强度因子单位：N.m-3/2应力强度因子29应力强度因子鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaardstressfunction、Muskhelishvilistressfunction到解析的或半解析的GreenFunction、SingularIntegralEquation、ConformingMapping（保形映射）,及数值方法如BoundaryCollocationMethod，FiniteElementMethod(有限元法)和BoundaryElementMethod(边界元法)。30脆性断裂的K准则应力强度因子与应变能释