大一上学期同济版高数第四章有理函数积分

1高等数学第二十三讲2第四节一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的不定积分第四章3换元积分法;•初等函数求导初等函数积分本节起，我们将被积函数的类型出发，讨论某些特殊类型的函数的不定积分法。•基本积分法:直接积分法;分部积分法4一、有理函数的积分)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和5例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx6(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx3Ax2Bx故6532xx3(2)(3)xAxBx3x取代入上式有6A取2x代入上式有5B比较上式左右两端的分子有6532xxx7)1)(21(12xxxA2121xCBx原式=x214512112xx(3)用比较系数法xcBxxA21)(112CAxcBxBA)2()2(1202BA02CB1CA54A52B51C8四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42变分子为)2(2pxM2pMN再分项积分9例2.求解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan5110例3求dxxxx33)1(1解：dxxxxx32)1(2)1(1121cxxxx2)1(1111ln2ln说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.11例4.求解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23注：分母的导数为22x12例5.求解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC13例6.求xxxxd21322xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx52)1(2x)1d(x2212xxCx21arcsin514例7.求不定积分解：令,1xt则,故161t551tt分母次数较高,宜使用倒代换.15例8.已知求解:两边求导,得则)1(xt令1(1)(代回原变量)16解:原式1d4xx(见公式)2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁例9.求xxxxd2212118二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxu万能代换u的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则变量代换2tanxu通常称为“万能代换”意味着任何三角函数有理式的积分，的有理函数的积分。都可以用这种代换化为可积19例1.求.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxu则22sinsinxx222tan1tan2xx212uu22coscosxx2222tan1tan1xx2211uuxduud122222222cossincossin2xxxx22222222cossinsincosxxxx,arctan2ux20xxxxd)cos1(sinsin12121uu212uu)1(2211uuuud212uuud122121221uu2ulnC2tan412x2tanxCx2tanln2121注：用万能代换有时计算比较复杂，的三角函数的有理式的积分常需要采用其他形式的代换。以便能更简便而迅速地得出结果。例2：求dxxx45cossin解：xdxxcoscos)cos1(422cxxx3cos31cos2cos若用万能代换则422256)1()1(2uuduu繁！因此对某些特殊22例3.求.)0(d)cossin(12baxxbxa解原式dx2)tan(bxax2cos2dtan(tan)xaxb1(tan)CaaxbCxbxaax)cossin(cos21d(tan)(tan)axbaaxb23例4.求解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换24dxxx53cossin13831sincoscosdxxxx例5623secsectanxxdxx233(tan1)tantanxdxx提示：原式25例6.求不定积分解：原式=2tanxu前式令221131uuuud1222arctan21u;后式配元)2tan21arctan(21x262.简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp27例1.求.21d3xx解:令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC28例2.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,,6tx则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnC令29例3.求.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC30例4.求d.axxax解:原式2222dxxdxaaxax22221()arcsin2xdaxaaax222()daxxax22daxxax22arcsinxaaxCa31例5求1111xxdxxx解原式＝xdxxxx1111令txx11tdttxdtttx222221412111原式＝tdtttttt]14[1211122222212tdtctarctan2cxx11arctan232内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,33思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令34解:3.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln614.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin12135dxxxx3243解：dxxxxx311121232xxx32131221122xxdxdxxxxxdx411)21()21(213)3(211222xxddxxxxxdxdxcxxxx1112arctan1113ln211ln2例5求36xxxd)4)(1(22)4()1(22xx例6.求xxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:分母的导数xxxx5224532437例5.求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,sinxt原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1)1(sin4221d)1(tttt3)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind