直角三角形的边角关系讲义

创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼1直角三角形的边角关系讲义第1节从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。即tanA=baA的邻边的对边A例1如图，△ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。DCBA2创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼2、坡度的定义及表示（难点我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lhatan注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为alhitan，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。例3如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD的长为多少？3、正弦、余弦的定义在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=ca斜边的对边A∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=cb斜边的邻边A例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼34、三角函数的定义（重点）锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222cba；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。本节作业：1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=53，求CD的长。2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana的值。4创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=31，求tanA的值。4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC的面积。5、（2008·浙江中考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是多少？创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼5第2节30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1求下列各式的值。（1）60tan30sin60sin；（2）45sin22460tan460tan2。6创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼本节作业：1、求下列各式的值。（1）45tan30tan330sin2；（2）30cos60tan45cos2。(3)6tan230°－3sin60°＋2tan45°(4)022)30tan45(sin)60cos(160sin260sin60tan245tanooooooo2、已知a为锐角，且tana=5，求aaaasincos2cos3sin的值。3、△ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008·成都中考）245cos的值等于________。5、（2008·义乌中考）计算3845cos260sin3。创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼76、（2009深圳）（6分）计算：2202(3)(3.14)8sin457、（2010深圳）(13)－2－2sin45º＋(π－3.14)0＋128＋(－1)3．第3节三角函数的有关计算本节内容：利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）锐角三角函数计算的实际应用（难点）1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）计算三角函数的具体步骤大体分两种情形：（1）先按三角函数键，再按数字键；（2）或先按数字键，再按三角函数键。利用计算器还可以求角度的大小。例1利用计算器求下列锐角的三角函数值。（1）35sin；（2）85tan；（3）''25'3872sin；（4）'1547cos。8创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼2、锐角三角函数计算的实际应用（难点）仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。例2小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确到0.1米）。典型例题：例1用计算器求下列三角函数值。（精确到0.001）（1）35sin（2）42cos（3）75tan例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。（精确到1’）（1）5276.0sin（2）5276.0cos（3）5276.0tan创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼9例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）（2）为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？（精确到0.1m）（,4751.268tan,3746.068cos,9272.068sin,7660.050sin,6428.050cos1918.150tan）例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：,84.040tan,77.0cos,64.040sin结果精确到0.1m）10创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例5要求45tan的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a，则∠ABC=45°,所以145tanaaBCAC。你能否在此基础上，求出3022tan的值？例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼11例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4节船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）1、方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。12创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例1某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：3234tan,5334sin,263tan,10963sin）2、解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为cba、、。（1）三边之间关系：222cba（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间关系：BbaABcbABcaAtan1tan,sincos,cossin（4）面积公式：)(2121为斜边上的高hchabSABC在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：Rt△ABC中，∠C=90°已知选择的边角关系斜边和一直角边ac,由caAsin，求∠A；∠B=90°-∠A，22acb两直角边ba,由baAtan，求∠A；∠B=90°-∠A，22bac斜边和一锐角Ac,∠B=90°-∠A；Acasin；Acbcos创造适合每一个孩子的教育地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼13一直角边和一锐角Aa,∠B=90°-∠A；Aabtan，Aacsin注意：（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体