正弦定理习题及答案

1正弦定理习题及答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB＝2，sinA＝12，则b的值为()A．2B．4C．6D．8解析：由正弦定理得b＝asinBsinA＝212＝4.答案：B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形解析：∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2∴△ABC是直角三角形．答案：C3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于()A.3B．23C.6D．36解析：∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，∴a＝bsinAsinB＝6×3222＝36.答案：D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是()A．b＝10，A＝45°，B＝70°B．a＝60，c＝48，B＝100°C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝16，A＝45°解析：D中，bsinA＝82，a＝14，所以bsinAab，所以三角形有两个解．故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．2解析：∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则a＝ksinA＝k，b＝ksinB＝32k，c＝ksinC＝k2.∴a∶b∶c＝2∶3∶1.答案：2∶3∶16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°，则tanB＝________.解析：由正弦定理得sinB＝bsinAa＝215×32＝15，根据题意，得ba，故BA＝60°，因此B为锐角．cosB＝1－sin2B＝25.故tanB＝sinBcosB＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝6，b＝23，求B.(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝6，b＝2，求B.解析：(1)在△ABC中，由正弦定理可得6sin30°＝23sinB，解得sinB＝22∵ba，∴BA.∴B＝45°或135°.(2)在△ABC中，由正弦定理可得6sin60°＝2sinB，解得sinB＝22，∵ba，∴BA.∴B＝45°.8．在△ABC中，若sinB＝ac＝22，且B为锐角，试判断△ABC的形状．解析：∵sinB＝22，且B为锐角，3∴B＝45°.∵ac＝22.∴由正弦定理得sinAsinC＝22，又∵A＋C＝135°，∴sin(135°－C)＝22sinC，整理得cosC＝0.∴C＝90°，A＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．尖子生题库☆☆☆9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosA＝bcosB，求a＋bc的取值范围．解析：∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2.如果A＝B，则a＝b不符合题意，∴A＋B＝π2.∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sin(A＋π4)，∵a≠b，C＝π2，∴A∈0，π2且A≠π4，∴a＋bc∈(1，2)．