2.3《函数的单调性》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§3函数的单调性课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？•通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事．•在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的单调性问题.•1.函数的递增与递减•在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是________，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是________．在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当_______时，都有_________，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是________．增加的递增的x1x2f(x1)f(x2)递减的•2．函数的单调区间•如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为________．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是________；如果函数是________，那么它的图像是下降的．对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是________．在函数y＝f(x)在定义域的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有________，就称函数y＝f(x)在数集A上是________．单调区间上升的减少的增加的f(x1)f(x2)减少的•3．函数的单调性•如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．在定义域的某个子集上是增加的或是减少的增函数减函数单调函数•1.函数f(x)＝－x2的递增区间为()•A．(－∞，0]B．[0，＋∞)•C．(－∞，＋∞)D．(－1，＋∞)•[答案]A•[解析]由函数f(x)＝－x2的图像可知，它的递增区间为(－∞，0]．故选A.2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有()A．a≥12B．a≤12C．a－12D．a12[答案]D[解析]∵f(x)在R上为减函数，∴2a－10即a12，故选D.•3．函数f(x)的图像如图所示，则()•A．函数f(x)在[－1,2]上是增加的•B．函数f(x)在[－1,2]上是减少的•C．函数f(x)在[－1,4]上是减少的•D．函数f(x)在[2,4]上是增加的•[答案]A•[解析]结合图像可知函数f(x)在[－1,2]上是“上升”的，故A正确．•[答案](－∞，0)•[解析]由反比例函数的单调性知，－b0，∴b0.•5．若f(x)是R上的增函数，且f(x－1)f(2)，则x的取值范围是________．•[答案](3，＋∞)•[解析]∵f(x)是R上的增函数，且f(x－1)f(2)，∴x－12，∴x3.4．若函数y＝－bx在(0，＋∞)上是减少的，则实数b的取值范围是________．课堂典例讲练•已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()•[思路分析]已知函数的图像判断其单调性应从它的图像是上升的还是下降的角度来考虑．•[规范解答]根据函数单调性的定义结合函数图像可知函数B在定义域内为单调递增函数．•[答案]B•函数单调性的判断•下列命题正确的是()•A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的•B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的•C．若f(x)在区间I1上为增加的，在区间I2上也是增加的，那么f(x)在I1∪I2上也一定是增加的•D．若f(x)在区间I上是增加的且f(x1)f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1x2•[答案]D[解析]由单调性定义知，选项A、B错；对于C，可举反例，如y＝－1x，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x1＝－1，x2＝1时，x1x2，f(－1)＝1f(1)＝－1，∴函数y＝－1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，注意这种写法的错误性，所以C错，故选D.•利用定义证明或判断函数的单调性证明：函数y＝x＋9x在(0,3]上是减少的．[思路分析]利用函数增减性的定义来证明，其关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．[规范解答]设0x1x2≤3，则有y1－y2＝(x1＋9x1)－(x2＋9x2)＝(x1－x2)－9x1－x2x1x2＝(x1－x2)(1－9x1x2)．∵0x1x2≤3，∴x1－x20，9x1x21，即1－9x1x20，∴y1－y20，即y1y2，∴函数y＝x＋9x在(0,3]上是减少的．•[规律总结]证明函数在某个区间上的单调性的步骤：•(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1x2；•(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；•(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；•(4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论．证明：函数f(x)＝x＋12－x在区间[3,5]上是增加的．[证明]设x1，x2是区间[3,5]上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋12－x1－x2＋12－x2＝3x1－x22－x12－x2.因为3≤x1x2≤5，所以2－x10,2－x20，x1－x20.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在[3,5]上是增加的.•求函数单调区间求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x2＋3x－2；(2)f(x)＝3|x|；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)f(x)＝1－1x(x0)．•[思路分析]求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．[规范解答](1)f(x)＝－x－322＋14.∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为x＝32，∴f(x)在－∞，32上是增加的，在32，＋∞上是减少的．∴f(x)的单调增区间是－∞，32，单调减区间是32，＋∞.(2)∵f(x)＝3|x|＝3xx≥0，－3xx0.由一次函数的单调性可得f(x)在(－∞，0)上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的．所以f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是[0，＋∞)．(3)∵f(x)＝－x2＋2x＋3x≥0，－x2－2x＋3x0.其图像如图所示．由此可知，y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的；y＝f(x)在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．∴f(x)的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间是[－1,0]，[1，＋∞)(4)设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－1x1－1＋1x2＝x1－x2x1x2，∵0x1x2，∴x1－x20，x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的．∴f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．[规律总结]1.对于含有绝对值的函数，往往转化为分段函数去处理．如y＝|x|＝xx≥0－xx0在此基础上，画出图像，写出单调区间．2．利用图像法求函数的单调区间，应先画出图像，根据图像的上升和下降的趋势写出单调区间．3．由图像确定函数的单调区间时需注意两点：(1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(1)设f(x)是定义在区间U上的增函数，且f(x)0，则下列函数中增函数的个数是()①y＝1－f(x)②y＝1fx③y＝f2(x)④y＝－fxA．1B．2C．3D．4•[答案]A[解析]由于y＝1－t，y＝1t，y＝－t均在(0，＋∞)上递减，而f(x)递增，且f(x)0，∴函数y＝1－f(x)，y＝1fx，y＝－fx均在U上递减．又y＝t2在(0，＋∞)上递增，∴y＝f2(x)也递增．•(2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上为增函数，在区间________上为减函数．•[答案][－1，＋∞)(－∞，－1]•[解析]∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，•∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.•∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1]上为减函数.•利用函数的单调性求最值(1)求函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，＋∞)上的最大值；(2)求函数f(x)＝2－x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．•[思路分析](1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值；•(2)利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．[规范解答](1)画出函数f(x)＝－x2＋2x的图像(如图)，由图像可知：f(x)在[0,1]上是增加的，在[1，＋∞)上是减少的，所以f(x)在[0，＋∞]上的最大值是f(1)＝1.(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝2－x2－1－2－x1－1＝2x2－x1x2＋1x1＋1.因为2≤x1x2≤6，所以x2－x10，(x2＋1)(x1＋1)0，于是2x2－x1x2＋1x1＋10，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝2－x－1在区间[2,6]上是增加的，所以函数f(x)＝2－x－1在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为f(6)＝2－6－1＝－27，最小值为f(2)＝2－2－1＝－23.•[规律总结]1.熟记运用函数单调性求最值的步骤：•(1)判断：先判断函数的单调性．•(2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．•2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点：•(1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．•(2)求最值忘记求定义域．•(3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．若函数f(x)＝1x－1，x∈[3,4]，求f(x)的最值．[解析]在[3,4]上任取两个值x1，x2且x1x2，则x2－x10，f(x2)－f(x1)＝1x2－1－1x1－1＝x1－1－x2－1x2－1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1.∵x1，x2∈[3,4]，∴(x2－1)(x1－1)0，x1－x20.∴f(x2)f(x1)．∴f(x)＝1x－1在[3,4]上是减少的．∴f(x)的最大值为f(3)＝12，f(x)的最小值为f(4)＝13.•利用单调性求参数取值范围已知f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．[思路分析]利用单调性定义求解．[规范解答]在区间(－2，＋∞)上任取x1，x2，且－2x1x2，f(x2)－f(x1)＝ax2＋1x2＋2－ax1＋