高中数学 3.3.1《函数的单调性与导数》课件 新人教A版选修1-1

3.3.1函数的单调性与导数函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)一、复习引入:单调性的概念：对于给定区间上的函数f(x):1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图象，并根据图象指出每个函数的单调区间观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfyox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？二、新课讲解：2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。•定理：•一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：•如果恒有f′(x)0，则f（x）是增函数。•如果恒有f′(x)0，则f（x）是减函数。•如果恒有f′(x)=0，则f（x）是常函数。例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14变式如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO解：一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a练习函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf变式求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:762)(23xxxf.126)(2xxxf)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf练习1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf练习2.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论总结•[解析]解法一：(区间法)•f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.•当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．•当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，•所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.例3若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．•解法二：(数形结合)•如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以f′(4)≤0，f′(6)≥0，即3(5－a)≤0，5(7－a)≥0，所以5≤a≤7.•解法三：(转化为不等式的恒成立问题)•f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2x＋15，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，•又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，•所以a≤x＋1，因为x＋17，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.•[点评]本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322()f'xax解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1〉a-变式322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx320已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围练。习2fxax-xxafxa3[)2,练习1已知f(x)＝13x3＋12ax2＋ax－2(a∈R)．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a的取值范围．0≤a≤4在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证。()0(或0)f'x()0(或0)f'x总结补例：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.•已知：x＞0，求证：x＞sinx.•[解析]设f(x)＝x－sinx(x＞0)•f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立•∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数•又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立•即：x＞sinx(x＞0)．补例：不等式证明问题补充练习:1、判断下列函数的单调性•(1)f(x)=x3+3x;•(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);•(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;•(4)f(x)=ex-x;2、已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。小结：定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：如果恒有，则f(x)在是增函数。如果恒有，则f(x)是减函数。如果恒有，则f(x)是常数。步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)0f’(x)0f’(x)＝0