高考导数训练

1【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：函数与导数2．（2011北京朝阳区期末）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（Ⅱ）当102a≤时，讨论()fx的单调性.解：（Ⅰ）当1a=-时，2()ln1fxxxx=++-，(0,)x??.所以222()xxfxx+-=′，(0,)x??.………（求导、定义域各一分）2分因此(2)1f=′.即曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线斜率为1.…………3分又(2)ln22f=+，……………………………………………………4分所以曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为ln20xy-+=.………5分（Ⅱ）因为11ln)(xaaxxxf，所以211()afxaxx-=-+′221xaxax，(0,)x??.…………7分令2()1gxaxxa=-+-，(0,)x??，①当0a时，()1gxx=-+，(0,)x??，当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；………8分当(1,)x时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递增.……9分②当102a时，由()0fx′即210axxa解得11x=，211xa=-.此时1110a-，所以当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；…10分1(1,1)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递增；……11分1(1,)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递减.…12分综上所述：2当0a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；当102a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在1(1,1)a-上单调递增；在1(1,)a-+?上单调递减.……………………………………3．（2011北京朝阳区期末）已知函数2()1fxaxbx（,ab为实数，0a，xR），()0,()()0.fxxFxfxx（Ⅰ）若(1)0f，且函数()fx的值域为[0,)，求()Fx的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2,2]x时，()()gxfxkx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设0mn，0mn，0a，且函数()fx为偶函数，判断()()FmFn是否大于0？解：（Ⅰ）因为(1)0f，所以10ab.因为()fx的值域为[0,)，所以20,40.aba………………………2分所以24(1)0bb.解得2b，1a.所以2()(1)fxx.所以22(1)0,()(1)0.xxFxxx……………………………………4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1gxfxkxxxkxxkx=222(2)()124kkx，…………………………6分所以当222k≥或222k≤时()gx单调.即k的范围是(,2]-?或[6,)+?时，()gx是单调函数．……………8分（Ⅲ）因为()fx为偶函数，所以2()1fxax.所以220,()0.axxFxaxx………………………………………………10分因为0mn，依条件设0m，则0n.又0mn，所以0mn.3所以mn.…………………………………………………………12分此时22()()()()11FmFnfmfnaman22()0amn.即()()0FmFn．…………………………………………………13分6.（2011北京丰台区期末）设函数2()(1)2ln(1)fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）当0a2时，求函数2()()1gxfxxax在区间[03]，上的最小值．解：（I）定义域为(1,)．12(2)()2(1)11xxfxxxx．令()0fx，则2(2)01xxx，所以2x或0x．因为定义域为(1,)，所以0x．令()0fx，则2(2)01xxx，所以20x．因为定义域为(1,)，所以10x．所以函数的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(1,0)．………………………7分（II）()(2)2ln(1)gxaxx（1x）．2(2)()(2)11axagxaxxx．因为0a2，所以20a，02aa．令()0gx可得2axa．所以函数()gx在(0,)2aa上为减函数，在(,)2aa上为增函数．①当032aa，即302a时，在区间[03]，上，()gx在(0,)2aa上为减函数，在(,3)2aa上为增函数．所以min2()()2ln22agxgaaa．4②当32aa，即322a时，()gx在区间(03)，上为减函数．所以min()(3)632ln4gxga．综上所述，当302a时，min2()2ln2gxaa；当322a时，min()632ln4gxa．………………………14分8.（2011北京西城区期末）已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得12()()fxgx，求a的取值范围.解：2()(21)fxaxax(0)x.………………2分（Ⅰ）(1)(3)ff，解得23a.………………3分（Ⅱ）(1)(2)()axxfxx(0)x.………………5分①当0a时，0x，10ax，在区间(0,2)上，()0fx；在区间(2,)上()0fx，故()fx的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,).………………6分②当102a时，12a，在区间(0,2)和1(,)a上，()0fx；在区间1(2,)a上()0fx，故()fx的单调递增区间是(0,2)和1(,)a，单调递减区间是1(2,)a.…………7分③当12a时，2(2)()2xfxx，故()fx的单调递增区间是(0,).………8分④当12a时，102a，在区间1(0,)a和(2,)上，()0fx；在区间1(,2)a上()0fx，故()fx的单调递增区间是1(0,)a和(2,)，单调递减区间是1(,2)a.………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有maxmax()()fxgx.………………10分由已知，max()0gx，由（Ⅱ）可知，①当12a时，()fx在(0,2]上单调递增，故max()(2)22(21)2ln2222ln2fxfaaa，5所以，222ln20a，解得ln21a，故1ln212a.……………11分②当12a时，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max11()()22ln2fxfaaa.由12a可知11lnlnln12ea，2ln2a，2ln2a，所以，22ln0a，max()0fx，………………13分综上所述，ln21a.12.（2011巢湖一检）已知()sinfxxax．(Ⅰ)若()fx在(,)上为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当常数0a时，设()()fxgxx，求()gx在5,66上的最大值和最小值.解：(Ⅰ)∵()fx在()，上为增函数，∴()1cos0fxax对()x，恒成立.……………………2分令costx，则10at对[11]t，恒成立，∴1(1)0110aa，解得11a，∴实数a的取值范围是[11]，.……………………6分(Ⅱ)当0a时，()sin()1fxaxgxxx，∴2(cossin)()axxxgxx，…………………8分记()cossin(0)hxxxxx，，，则()sin0hxxx对(0)x，恒成立，∴()hx在(0)x，上是减函数，∴()(0)0hxh，即()0gx，∴当0a时，()()fxgxx在0，上是减函数，得()gx在566，上为减函数.∴当6x时，()gx取得最大值31a；当56x时，()gx取得最小值315a.16.(2011承德期末)设定义在R上的函数)(xf满足：①对任意的实数Ryx,，有);()()(yfxfyxf②当1)(0xfx时，.数列na满足)()1(1)(),0(11Nnafaffann且.（Ⅰ）求证：)(1)(xfxf，并判断函数)(xf的单调性；（Ⅱ）令nb是最接近na的正整数，即)(21Nbbannn，设)(11121NnbbbTnn，求1000T；解：（1）令1,0xy,0))0(1)(1(ff.61)1(f∴1)0(f.∵1)(0xfx时，.∴)()()()0(1xfxfxxff.∴)(1)(xfxf……………3分∴1)(00xfx时，∴0)(xfRx时，设121121221)(,xxfxfxxxfxfxx而1)(,01212xxfxx∴)()()()(11212xfxxfxfxf∴)(xf在R上是增函数.………………6分（2）)1()(,1)0(11nnafaffa∴11nnaa，)(Nnnan.令2121),(knkNkkbn即414122kknkk.∵nk,都是正整数，∴kknkk221.∴满足kbn的正整数n，有kkkkk21122（个）22321000319931323224162321831162316214121111000211000bbbT……12分17.(2011承德期末)已知函数223241)(234xaxxxxf在区间1,1上单调递减，在区间2,1上单调递增.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程mfx)2(有三个不同实数解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数pxfy)(log2的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围.解：（Ⅰ）∵函数)(xf在区间1,1上单调递减，在区间2,1上单调递增，7∴1x为其极小值点，0)1(f，21a……………3分（Ⅱ）由（1）得22213241)(234xxxxxf12122)(23xxxxxxxf可得函数)(xf的极大值为38)2(,125)1(ff，极小值为1237)1(f∵关于x的方程mfx)2(有三个不同实数解，令)0(2ttx，即关于t的方程mtf)(在,0t上有三个不同实数解，即)(tfy的图象与直线my在,0t上有三个不同的交点，画出)(tfy的图像，观察可得381237m综合①②得1217125p……………20．(2011东莞期末)已知函数22()2lnfxaxx(常数0)a.(1)求证：无论a为何正数，函数()fx的图象恒过点(1,1)A；(2)当1a时，求曲线()yfx在1x处的切线方程；(3)讨论函数()fx在区间2(1,)e上零点的个数（e为自然对数的底数）解：(1