选修4-5《不等式选讲》-章节复习

选修4-5《不等式选讲》章节复习一、知识梳理1.三个正数的基本不等式：已知,,abcR，则33abcabc(当且仅当abc时，等号成立)2.n个正数的基本不等式：已知12,,,naaaR，则1212nnnaaaaaan(当且仅当12naaa时，等号成立)一、知识梳理2.绝对值三角不等式：(1)定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤________，当且仅当_______时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤__________________，当且仅当___________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥03.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解法(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔_______________________；②|ax＋b|≥c⇔_______________________.不等式a0a＝0a0|x|a___________________________________|x|a____________________________R{x|－axa}∅∅{x|xa或x-a}{x|x∈R且x≠0}－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.4.不等式的证明方法(1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是________与0比较大小或________与1比较大小．(2)综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理______而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或____________法．作差作商论证由因导果(3)分析法①证明命题时，我们还常常从要证的________出发，逐步寻求使它成立的________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种__________的思考和证明方法．②当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以________寻找证明的思路，而用________叙述、表达整个证明过程．执果索因分析法综合法结论充分条件(4)反证法：先假设要证的命题______，以此为出发点，结合________，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_____，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明假设_____，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值______或______来简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．缩小不成立已知条件推理矛盾不正确放大二、典型例题选讲1.三个正数的基本不等式例题1(1)已知,,abcR，求8abab的最小值；(2)已知2x，求28()2(2)fxxx的最小值.变式训练：(1)已知,,,abmnR，且1ab，，2mn，则()()ambnbman的最小值为.(2)已知,,abcR，且321abc，求12abc的最大值.二、典型例题选讲2.不等式的解法例题1解下列的不等式：(1)|23|1x；2(2)||2xx；(3)|5||2|3xx；(4)|23||1|xx.变式训练：1.不等式(1)(1||)0xx的解集是()A.{|01}xxB.{|01}xxx且C.{|11}xxD.{|11}xxx且2.若关于x的不等式|5||3|xxa无解，则实数a的取值范围是.3.若不等式1|||2|1xax；对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是.二、典型例题选讲3.含参数的绝对值不等式问题例题2已知不等式|1||3|xxa.分别求出下列情形中a的取值范围．(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为∅.答案：(1)若不等式有解，则a＜4.(2)若不等式的解集为R，则a＜－4.(3)若不等式解集为∅，则a≥4.二、典型例题选讲跟踪训练：若不等式|x＋1|＋|x－3|≤a有解，求a的取值范围．答案：a≥4.二、典型例题选讲4.综合法和分析法证明不等式例题3(1)已知x，y均为正数且xy，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3；(2)设a，b，c0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.跟踪训练2．设a，b，c均为正数，求证：12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b.提示：1212a＋12b≥12ab≥1a＋b二、典型例题选讲5.放缩法证明不等式例题4已知实数x，y满足：|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，求证：|y|＜518.例题5证明：1111223nn跟踪训练3．设*nN，求证：21111925(21)4n.提示：222111111()(21)4414441kkkkkkk4．设*nN，求证：111112122nnn.提示：1111111111122222122nnnnnnnnnnnnn三、课堂小结1.三个正数的基本不等式与两个正数的基本不等式运用类似.2.几种简单的绝对值不等式的解法(1)||axbc(2)||||xaxbc(3)||||xaxbc(4)||||axbcxdm(5)||||axbcxd3.绝对值三角不等式的应用||||||||||ababab求最值、解决恒成立与存在性问题和明不等式.4.能用比较法、综合法和分析法、放缩法和反证法来证明不等式.四、作业1.已知函数()||()fxxaaR(1)求证：1()()2fxfx；(2)若(4)(2)5ff，求实数a的取值范围.2.已知函数()|1||23|fxxx(1)画出()fx的图像；(2)求|()|1fx的解集.3.已知函数()log(|1||2|)fxxxa(1)当7a时，求函数()fx的定义域；(2)若关于x的不等式()3fx的解集式R，求实数a的取值范围求的解集.四、作业4.已知0ab，求证：33223232ababab；(2)若(4)(2)5ff，求实数a的取值范围.5.已知,abR,且0,0ab,求证:22111()()9abaaba6.已知,xyR满足11||,|2|36xyxy,求证：5||18y.再见！