§5.3--绝对连续函数与不定积分

143§5.3绝对连续函数与不定积分教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式.教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式.定义1设)(xf是定义在],[ba上的实值函数.若对任意,0ε存在,0δ使得对],[ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当δ−∑=niiiab1)(时,成立,)()(1ε−∑=niiiafbf则称)(xf是],[ba上的绝对连续函数.关于绝对连续函数显然成立如下事实:).i(绝对连续函数是连续函数.).ii(若gf,是绝对连续函数,α是实数.则fα和gf+是绝对连续函数.例1设f是],[ba上的Lebesgue可积函数.则f的不定积分()()xaFxftdtC=+∫(其中C是任意常数)是],[ba上的绝对连续函数.证明由积分的绝对连续性(§4.2定理9),对任意,0ε存在,0δ使得对],[ba中的任意可测集A,当δ)(Am时,().Aftdtε∫于是对],[ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当δ−∑=niiiab1)(时,令,),(1∪niiibaA==则.)()(1δ−=∑=niiiabAm于是111()()()()().iiiinnnbbiiaaAiiiFbFaftdtftdtftdtε===−=≤=∑∑∑∫∫∫因此F是],[ba上的绝对连续函数.144例2若f在],[ba上满足Lipschitz条件,则f是],[ba上的绝对连续函数.证明对任意,0ε令Mεδ=(M是Lipschitz常数).则当δ−∑=niiiab1)(时,.)()()(11ε−≤−∑∑==niiiniiiabMafbf故f是],[ba上的绝对连续函数.■定理2绝对连续函数是有界变差函数.证明设f是],[ba上的绝对连续函数.则对,1=ε存在,0δ使得对],[ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当δ−∑=niiiab1)(时,成立.1)()(1−∑=niiiafbf取自然数k使得.δ−kab设bxxan==0是],[ba的一个分割,它将区间],[ba分成k等分.对],[1iixx−任一分割,01imixttx==−由于,)(111δ−=−−=−∑iimiiixxtt因此.1)()(),,(110≤−=∑=−miiimffftfttV于是.,,1,1)(1kifViixx=≤−利用§5.2定理2,得到.)()(11kfVfVkixxbaii≤=∑=−因此f是],[ba上的有界变差函数.■推论3设f是],[ba上的绝对连续函数.则f在],[ba上几乎处处可导,并且f′是Lebesgue可积的.证明利用推论4即知推论成立.定理4若f是],[ba上的绝对连续函数,则f的变差函数)(fVxa也是绝对连续的.证明设f是],[ba上的绝对连续函数.由定理2,f是],[ba上的有界变差函数.因此函数)(fVxa有意义.对任意,0ε设δ是绝对连续函数定义中相应的正数.现在设niiiba1)},{(=是],[ba上的互不相交的开区间使得δ−∑=niiiab1)(.对每个,,,1ni=设145iikiiibxxxai==)()(1)(0是),(iiba的任一分割.则},,1,,,1),,{(1nikjxxiijij==−是],[ba上的限个互不相交的开区间,并且这些小区间的长度之和.)()(111)(1)(δ−=−∑∑∑===−niniiikjijijabxxi由f的绝对连续性得到.)()(),,(11)(1)(1)()(1)(0ε−=∑∑∑==−=ninjijijniiniifiixfxfxxxV对),(iiba(.,,1ni=)的所有分割取上确界得到.)()()(11ε≤=−∑∑==nibaniaabafVfVfViiii这表明)(fVxa是],[ba上的绝对连续函数.■定理5设f是],[ba上的Lebesgue可积函数.则f的不定积分()()xaFxftdtC=+∫在],[ba上几乎处处可导并且a.e..)()(xfxF=′证明由例1知道)(xF是],[ba上的绝对连续函数.因而由推论3知道)(xF在],[ba上几乎处处可导.往证a.e..)()(xfxF=′先证明若ϕ是],[ba上的Lebesgue可积函数,则()().bxbaaatdtdxxdxϕϕ′≤∫∫∫(1)事实上,由于∫+xadtt)(ϕ和∫−xadtt)(ϕ都是单调增加的函数,§5.1定理5,我们有()().bxbaaatdtdxxdxϕϕ++′≤∫∫∫()().bxbaaatdtdxxdxϕϕ−−′≤∫∫∫因此()()()()()().bxbxbxaaaaaabbbaaatdtdxtdtdxtdtdxxdxxdxxdxϕϕϕϕϕϕ+−++−′′′≤+≤+=∫∫∫∫∫∫∫∫∫146即(1)成立.由§4.5定理2,对任意,0ε存在],[ba上的一个连续函数g,使得.bafgdtε−∫由数学分析中熟知的定理知道()().xagtdtgx′=∫对函数gf−应用(2)式,我们有()()(()())()()(()())()()2()()2.bxbxaaaabxbaaabaftdtfxdxftgtdtgxfxdxftgtdtdxgxfxdxfxgxdx′′−=−+−′≤−+−≤−∫∫∫∫∫∫∫∫ε由0ε的任意性我们得到()()0.bxaaftdtfxdx′−=∫∫因此()()0a.e..xaftdtfx′−=∫此即a.e..)()(xfxF=′■.定理6设f是],[ba上的绝对连续函数,并且在],[ba上0)(=′xfa.e.则f在],[ba上恒为常数.证明先证明).()(bfaf=对任意0,ε存在,0δ使得对],[ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当1()niiibaδ=−∑时,成立.)()(1ε−∑=niiiafbf设},0)(:],[{0=′∈=xfbaxE,],[0EbaE−=则.0=mE对于上面的,δ由§2.3定理6(i),存在开集,EG⊃使得.δmG由直线使开集的构造定理,存在一列开区间)},,{(iiba使得(,).iiiGab=∪另一方面,由于当,],[0EGba⊂−故对任意,],[Gbay−∈.0)(=′yf于是存在相应的,0h使得当),(hyhyy+−∈′时,.)()(yyyfyf−′−′ε这样开区间族}],[),,({)},{(Gbayhyhybaii−∈+−∪构成了],[ba的一个开覆盖.由有限覆盖定理,可以从中选出有限个区间,不放设为),,(,),,(11kkbaba),(,),,(1111llllhyhyhyhy+−+−仍然覆盖],[ba.我们可以在点lkkyybaba,,,,,,,111之外再加上一些分点,构成],[ba的一个分点组,10bxxxan==使得对任何给定的小区间),(1iixx−,不外147乎出现以下两种情况:(1).对某个,j).,(),(1jjiibaxx⊂−(2).对某个,j),(),(1jjjiiyhyxx−⊂−或),(),(1jjjiihyyxx+⊂−.于是我们有).()()()()()()()()(0)2(1)2(1)1(111abxxxfxfxfxfxfxfafbfiiiiiiniii−+≤−+−+−≤−≤−≤∑∑∑∑−−−=−εεεε其中∑)1(表示对出现情况(1)的),(1iixx−求和,∑)2(表示对出现情况(2)的),(1iixx−求和.由0ε的任意性得到).()(bfaf=对任意],,[bax∈用],[xa代替],[ba,同样可以得到).()(afxf=因此f在],[ba上恒为常数.■定理7(微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ba上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼兹公式()()(),[,]xafxfaftdtxab′−=∈∫(2)的充要条件是)(xf是绝对连续函数.证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设)(xf是绝对连续的.由推论3,f在],[ba上几乎处处可导,并且f′是Lebesgue可积的.令()()(),xaxfxftdtϕ′=−∫.],[bax∈(4)由定理5知道,在],[ba上0)(=′xϕa.e..根据定理6,)(xϕ在],[ba使恒为常数.因此).()()(afax==ϕϕ代入(4)即得(2).■推论8(分部积分公式)设gf,是],[ba上的绝对连续函数.则成立.bbbaaafgdxfggfdx′′=−∫∫(5)证明容易知道fg是],[ba上的绝对连续函数.利用定理7,我们有()()()()().bbbaaafbgbfagafgdxfgdxgfdx′′′−==+∫∫∫由此即得(5).推论证毕.小结由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分.这使得Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证.习题习题五,第15题—第30题.