空间图形的基本关系与公理(二)

西安市阎良区西飞第一中学李晋制作公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.图形语言：AABB直线符号语言：公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？⑴判定直线或点是否在平面内；⑵检验平面.公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一平面不共线CBACBA,,,,过不共线的三点A,B,C的平面通常记作〝平面ABC〞你是怎么样来理解公理2中的“有且只有一个”这句话的？讨论：答：“有且只有一个”的含义：是存在性和唯一性。注意：条件中提到三点不共线的含义。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.图形语言：符号语言：,,AlAl有且只有一个平面使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.图形语言：符号语言：,,abPab有且只有一个平面使推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.图形语言：符号语言：//,,abab有且只有一个平面使公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言：符号语言：（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）PlPlP且公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？⑴判断两个平面是否相交；⑵判定点是否在直线上.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.【例1】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1的中点.(1)指出由A1，C1，M三点所确定的平面与正方体表面的交线；(2)试作出平面A1C1M与平面ABCD的交线．点共线问题如图所示，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．【证明】∵A1C1∩B1D1＝O1.又B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C.∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．证明共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，其关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．线共点问题如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．证明三线交于一点的常见方法：一是证其中两线的交点在第三条直线上，二是证直线a与b的交点和b与c的交点重合．练习：已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分别与平面α并于点P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.αBACpQR证明：,ABP,PABP，平面PABC点在平面与平面的交线上.同理可证：QRABC，也在平面与平面的交线上..PQR，，三点共线要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.练习课本P24练习1、2、3、4课本P26习题A组1；B组1课本P26习题A组2；B组2作业