各高校量子力学考研试题汇总要点

习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。2．德布罗意关系为。3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。6．波函数的标准条件为。7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。9．力学量算符应满足的两个性质是。10．厄密算符的本征函数具有。11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。12.______;_______;_________。28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。15．隧道效应是指__________________________________________。16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为，本征值为出现的几率为。22．原子跃迁的选择定则为。23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。24．为泡利算符，则，，。25．为自旋算符，则，，。26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是________________________，_______________________________。27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则的意义为_____________________；_________________。二、计算题1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为，。求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。2．一维运动粒子的状态是其中，求（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。（利用公式）3．设在表象中，的矩阵表示为其中，试用微扰论求能级二级修正。（10分）4．在自旋态中，求。（10分）5．各是厄密算符。试证明，也是厄密算符的条件是对易。6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。7．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数。8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）（基态波函数，利用公式）9．证明下列关系式：1．，2.3.,4.(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。11．为厄密算符，（为单位算符），。（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，，b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。14．证明下列算符的对易关系。1．；2.()3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：15．设有两个电子，自旋态分别，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）的几率分别为：（20分）。16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符。试证明（1）是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。18．设在表象中，的矩阵表示为，其中，试用微扰论求能级二级修正（14分）。19．证明下列算符的对易关系（24分）：1．2.()3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21．求证在的共同本征态下，角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。23．求及的本征值和所属的本征函数。三问答题1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9．什么是斯塔克效应？10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12．什么是定态？定态有什么性质？13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？14．简述力学量与力学量算符的关系？15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16．简述量子力学的五个基本假设。17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？习题21.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________2.假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________3.计算1K时，60C团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_____________________________4.计算对易式)](,ˆ[xfpx和)]ˆ(,[xpfx，其中xpˆ为动量算符的x分量，)(xf为坐标的x函数.5.如果算符ˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ，求证(1)ˆ2ˆˆˆˆ22(2)233ˆ3ˆˆˆˆ6.设波函数xxsin)(，求?][][(22dxdxxdxd7.求角动量能量算符iLzˆ的本证值和本征态8.试求算符dxdieFixˆ的本征函数9.证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的10.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11.一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数12.设t=0时，粒子的状态为]cos[sin)(212kxkxAx求此时粒子的动量期望值和动能期望值13.一维运动粒子的状态是0,00,)(xxAxexx当当其中0，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的动量期望值。14.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.15.设粒子处于范围在],0[a的一维无限深势阱中状态用函数axaxax2cossin4)(，求粒子能量的可能测量值及相应的几率16.设氢原子处在0301),,(arear的态（0a为第一玻尔轨道半径），求(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值17.质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)Vxyz由下式给出：0,0,;0,;0,(,,),xayazaVxyzothers；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；18.氢原子处于态433141104111122,,333rRYRYRY中，问（1）,,r是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；（2）在,,r中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19.在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示20.在t=0时，自由粒子波函数为b2x0b2xbxsin2b0,x(1)给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；[2221)(22sin)2()(41xxpbbbpib](2)求出几率最大的动量值；bpx(3)求出发现粒子在xdpbb区间中的几率；[xx2dpb1dp)b(]21.设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值22.一维无限深势阱)0(ax中的粒子受到微扰)2()1(2)20(2)(axaaxaxaxxH作用，试求基态能级的一级修正。)221(223.具有电荷为q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为)(I。其波长较长，求：①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。21②讨论跃迁的选择定则。1m24.电荷e的谐振子，在0t时处于基态，0t时处于弱电场/0te之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。25.质量为m的粒子处于位势其他和az0ay0,ax00z,y,xV中。假设它又经受微扰bxyHˆ，试求第一激发态能量的一级修正。26.用试探波函数a/x)x(e，估计一维谐振子基态能量和波函数27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为H，它在H0表象中的表示为00EEEEHˆ，A.求H的本征值和本征态；EEE0，1121uEEE0,1121uB.若t=0时，粒子处于1，它在0Hˆ表象中的表示为01。试求出t0时的粒子波函数；EtsiniEtcoset