一,隐函数的求导法则

2020年3月10日11时59分1一,隐函数的求导法则二,由参数方程所确定的函数的导数2020年3月10日11时59分2一、隐函数的求导法则定义:.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分3隐函数的导数设函数y=f(x)由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则其求导方法：在方程F(x,y)=0的两边各项关于x求导，遇到y时先对y求导数再乘y’，最后解出y’即可。例八、求隐函数的导数y’：解：两边各项关于x求导：解出y’：说明：一般地，隐函数的导数是同时含有x,y的表达式。xxyxcos223xyxyyxsin42322xyxyxy4sin23222020年3月10日11时59分4例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1的复合函数的函数看成的函数，看成将xyxy第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分5例2.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分6例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(04)(122123222yyyyyxyx得4110yxy,1,0yx代入.16110yxy第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分7反函数求导法则•反函数的导数，亦可以用隐函数的求导方法求出。第二节导数的运算2020年3月10日11时59分8yxxysinarcsin可得由dxdyycos1ycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx;11)(arctan2xx.11)cot(2xxarc例1解求导，得两边同时对x)(arcsinx同理可得第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导的导数求)11(arcsinxxy2020年3月10日11时59分9例：求函数2)2(arcsinxy的导数，解：;42arcsin221)2(112arcsin222xxxxy2020年3月10日11时59分10；）（解：的导数（例：求函数22222222222222112211lnxaxaxaxxaxxaxxaxyxaxy2020年3月10日11时59分11例1，求函数xylnlnln的导数，；解：xxxxxxylnlnln11ln1lnln1例2，设函数f（x）可导，求的导数；)(cos)(sin22xfxfy]cossin[2sinsincos2coscossin2sin2222）（）（）（）（）（解：xfxfxxxxfxxxfy2020年3月10日11时59分12;1112,12)1(1)1(2)1()1(2)1(1)1()2(2)1(2)12(112222222222222222ttttttttttttttttty例4，求212arcsintty的导数；解：2020年3月10日11时59分13；）（）（解：2arcsin442arcsin422212112arcsin2222xxxxxxxxxxxy例3，求242arcsinxxxy的导数，2020年3月10日11时59分14对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分15例2.的导数求函数xayaxylnlnadxdyyln1dxdyax)(aylnaaxln解,两边取对数，得隐函数特别地.)(xxee第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导得求导两边同时对,x2020年3月10日11时59分16对数求导法若求导函数是幂指函数或多项乘方、开方、乘除的形式时，可考虑使用对数求导法：先取对数，再求导数。例九、求导数：解：两边取对数：两边求导数：解出y’：说明：最后结果中，一定要将y代回原来的表达式。xxysinxxylnsinlnxxxxyysinlncos1).sinln(cossinxxxxxyx2020年3月10日11时59分17例4解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分18例5解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分19一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分20.,)(sincosyxxyx求设例6解)(lnyyy)sinlncos(lnxxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx2020年3月10日11时59分21四、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分22),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分23,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分24设参数方程为，则导数例十、求导数y’：解：由公式得：说明：参数方程的导数中一定含有参变量。上页下页)()(tytx)()(ttdxdyttyttxsincosttttxydxdyttsin1cossin2020年3月10日11时59分25例6解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分26.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分27例6解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec42020年3月10日11时59分28总结：初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(21.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分292211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)(（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(是常数)C第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分303.复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.第二节导数的运算目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年3月10日11时59分31例1.的导数求函数xxxy解)(21xxxxx