3 分形理论及其应用解析

神经网络课系列讲座－－分形(fractal)合肥工业大学图像信息处理研究室Tel:2901393地址：逸夫楼709Email:[e-mail]赵莹•分形展厅（国内外分形作品）见山见水墨韵纹身•火凤凰的诞生over主要内容•分形的产生背景？•谁是分形理论的创始人？•什么是分形？特征？•分形可以应用于哪些领域？合肥工业大学图像信息处理研究室Tel:2901393地址：逸夫楼709Email:[e-mail]分形的产生背景•在经典的欧几里德几何学中，我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体，这是极自然的事情。•然而在自然界中，却存在着许许多多极其复杂的形状，如，山不是锥，云不是球，闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等，再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描述的，它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导）这一基本性质了。•这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病态的”，从而很容易被人们忽视了。显然传统的数学已经无法来描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何学（fractalgeometry）便应运而生。•分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学分形几何与传统几何相比有什么特点从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。分形人物－Mandelbrot分形理论创始人－美籍法国数学家Mandelbrot。Mandelbrot•美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员•哈佛大学应用数学兼职教授•美国国家科学院院士•美国艺术与科学研究员成员•欧洲艺术、科学和人文研究院院士。•1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌芽的重要标志。•1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几何学的整体思想。•1977年，他出版了第一本著作《分形：形态，偶然性和维数》，标志着分形理论的正式诞生。•五年后，他出版了著名的专著《自然界的分形几何学》，至此，分形理论初步形成。Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。取拉丁词fractus之头，撷英文fractional之尾，就得到了fractal一词。本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。什么是分形？•实例•定义•分形特征海岸线有多长？按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为《英国海岸线有多长？》的文章中作出了令人惊诧的答案：“英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。”•以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。•问题似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？•答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。几种典型的分形图案KOCH曲线返回Sierpinski三角形什么是分形？•实例•定义•分形特征分形定义分形：是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。什么是分形？•实例•定义•分形特征分形特征自相似性self－similarity指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。分形植物Koch雪花Sierpinski三角形如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。标度不变性scaleinvariance指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。分形植物Mandelbrot集分形维数•维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。•你是否听说过世界上存在2.8126维的物体？•是的！•尽管听起来似乎比较荒诞，但这是事实。在这个概念的基础上才有分形学的发展。•让我们先作一个类比。•牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时，这个定理就变得极不准确。•于是，在1900初，爱因斯坦发明了相对论。这个成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于牛顿定律。•那么，这和分维有什么联系呢？•像相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维知识相冲突，而是一种发展！一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度，分形维数越大，则分形体越不规则。这里我们介绍比较常用的三种分形维数：相似维数hausdorff维数盒子维数•相似维数（SimilarityDimension）：如果某图形是由把全体缩小为1／a的b个相似图形构成的，那么相似维数Ds可以由下式给出：abln/lnDS例如，对于koch曲线，可以分成四个部分，每个部分都为原来的1/3大小，而每一部分又可以同样的细分，则它的相似维数2619.13ln/4ln)(kochDsKoch曲线•Hausdorff维数设有一条长度为L的线段，若用一长r的“尺”作为单位去量它，量度的结果是N，我们就说这条线段有N尺。显然N的数值与所用尺的大小有关，它们之间具有下列关系：1~/)(rrLrN同理，若测量的是一块面积为A的平面，这时用边长为r的单位小正方形去测量它，有下式成立：22~/)(rrArN同样，可以用半径为r的小球来填满一块体积V球体，所需小球的数目比例于：3/rV对于任何严格有确定维数的集合体，若用与它具有相同维数的“尺”去量度，则可以得到一确定的数值N，若用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果为零。其数学表达式为HDrrN~)(对上式两边取自然对数，可得：)/1ln(/)(lnrrNDH式中的DH就称为Hausdorff维数，它可以是整数，也可以是分数。它是最古老的也是最重要的一种维数，它对任何集都有意义。然而，计算Hausdorff维数是相当困难的。•盒子维数定义：设，在欧氏距离下，用边长为的小盒子紧邻地去包含A，设为表示包含A所需的最小盒子数，则：nnnAND2ln)(lnlim即为集合A的盒子维。计算：逐渐增大n，分别计算出相应的值，这样就得到一组的数据对，再利用线性回归等方法求出相对于的斜率，即为所要求的盒子维。nRAn2/1)(ANn)(ANn))(ln,2(lnANnn)(lnANnn2ln分形应用领域•图像处理方面图像分割目标识别图像压缩图像边缘检测图像分析、合成图像分割灰值图像，尤其是基于自然景观的灰值图像，可能是由多类具有不同分形性质的物质组成的。所以我们在对图像提取分数维时一般是按图像分块进行的，即设定一个窗口，尺寸大小一般选成8×8或16×16等，提取的是窗口区域的分数维，窗口的移动是从左向右，从上向下移动。由分形理论我们可以知道：同一分形物质在不同区域一般具有相同的维数。所以当我们在同一图像的不同区域求得分数维以后，就可以基于此进行分类、分割。目标识别人们把分数维与传统方法结合起来来处理自然背景下的人造物体的识别，例如隐藏在树林山峦间的坦克、炮车等等。传统的匹配检测方法包括相似度量，匹配点搜索等步骤，这在计算上有很大的时间复杂度。现在使用分数维的方法，一般选择窗口的大小同被检测物体的尺寸大致相等，这一般是可预知的，一旦某些窗口出现了异常的分数维，比如低于一定的拓扑维数或不同于大多数区域的分数维等等，它们才被送入下一步进行精搜索。这里分数维主要起着可疑区域判定的作用。图像压缩1988年Barnsley采用迭代函数系统IFS和递归迭代函数系统RIFS方法，对几幅图像进行压缩编码．获得了高达10000:1的压缩比。1992年的圣诞节，美国微软公司发布了一张令人瞩目的光盘，名叫“MicrosoftEncarta”。在这张仅能容纳600M字节的光盘中，收集了一部美国地图册、一本字典、一段七小时的音响、100个动画节目、800张可以缩放的彩色地图册，还有7000多张高质量的照片――鲜花、植物、人物、云、名胜，应有尽有。因而人们形象地称其为“多媒体百科全书”。Encarta上的所有信息都是通过分形压缩技术存储的。在海湾战争中，美军使用了分形技术，用于军事地图的缩放、攻击目标的匹配追踪等。•其他应用用分形方法在计算机上可实现模拟自然景物、动画制作、建筑物配景等，在影视制作中能生成奇峰异谷、独特场景，产生新奇美丽的景色。此外用分形方法还可以进行时装设计、IC卡设计、房间装饰等等。时装设计一时装设计二IC卡设计贺卡设计书祯设计分形天线分形芯片房间装饰一房间装饰二房间装饰三房间装饰四自然景物模拟分形艺术•分形音乐分形音乐是由一个算法的多重迭代产生的，自相似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构一些带有自相似小段的合成音乐，主题在带有小调的三翻五次的返复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐，尽管它听起来不那么宏伟，但至少听起来很有趣。有人甚至将著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为《倾听曼德勃罗集（HearingtheMandelbrotSet），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。实际上，分形音乐已成为新音乐研究的最令人兴奋的领域了。分形音乐1分形音乐2为什么要研究分形？•首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。•其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。•分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息。今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文