梁昆淼-数学物理方法第8章

第八章分离变数法§8.2非齐次振动方程和输运方程§8.3非齐次边界条件的处理§8.1齐次方程的分离变数法§8.4泊松方程（一）、分离变数法§8.1齐次方程的分离变数法02xxttuau)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut0),(0xtxu0),(lxtxu考虑定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定弦两端固定，之间形成驻波)coscos2(tkxAy回顾)()(),(tTxXtxu驻波的一般式分离变量02xxttuau0),(0xtxu0),(lxtxu边界条件代入泛定方程)()(),(tTxXtxu0)()()()(2tTxXatTxX代入边界条件0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X0)(lX)()()()(2xXxXtTatT和与x和t无关令边界条件有0)0(X0)(lX)()()()(2xXxXtTatT（1）、0以下求X0XX0)0(X0)(lX0)()(2tTatTxxeCeCX21而由边界条件021CC021lleCeC（1）、0xxeCeCX21021CC021lleCeC0021CC0X0),(txu故0不可能（2）、=021CxCX0XX0X02C而由边界条件021ClC0021CC0),(txu故=0不可能（3）、0xCxCXsincos210XX02C而由边界条件01C0sin2lC因为0sinl所以nl222lnxlnCXsin2有由T满足的方程称为本征值222lnxlnCXsin2是Furier级数的基本函数族0)()(2tTatT0)()(2222tTlantTlatnBlatnATsincos分离变数的解xlnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(当n=1，称为基波；称为本征振动xlnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(本征振动的角频率为lann频率为lanfn2当n1，称为n阶谐波lalaf2本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件，故为一般解xlnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(An和Bn由初始条件确定1sin)sincos(),(nnnnnxlnlatnBlatnAtxuu)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut初始条件)(sin1xxlnAnn)(sin1xxlnlanBnn)0(lx初始条件)(sin1xxlnAnn)(sin1xxlnlanBnndlkdlklnAlnlnsin)(sinsin010dlklAlksin)(20dlnlAlnsin)(20初始条件)(sin1xxlnlanBnndlkdlklnlanBlnlnsin)(sinsin010dlkllkBlksin)(20dlnlAlnsin)(20dlnanBlnsin)(201sin)sincos(),(nnnnnxlnlatnBlatnAtxuudlnlAlnsin)(20dlnanBlnsin)(20称为本征振动系数解题过程：泛定方程得X和T分离变数边界条件得本征值本征振动初始条件得本征振动系数（二）、例题02xxttuau)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut0),(0xxtxu0),(lxxtxu例：两端自由振动的自由杆定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端自由)()(),(tTxXtxu驻波的一般式分离变量02xxttuau0),(0xxtxu0),(lxxtxu边界条件代入泛定方程)()(),(tTxXtxu0)()()()(2tTxXatTxX代入边界条件0)()0('tTX0)()('tTlX0)0('X0)('lX)()()()(2xXxXtTatT和与x和t无关令边界条件有0)0('X0)('lX)()()()(2xXxXtTatT（1）、0以下求X0XX0)0('X0)('lX0)()(2tTatT0X仅得无意义的解（2）、=0xDCX000XX0'XC0任意00D0)()(2tTatT0)(tT0)(tTtBAtT000)(tBAtxu000),(（3）、0xCxCXsincos210XX01C而由边界条件02C0)cossin(21lClC因为0sinl所以nl222lnxlnCXcos1有02C由T满足的方程称为本征值222lnxlnCXcos1是Furier级数的基本函数族0)()(2tTatT0)()(2222tTlantTlatnBlatnATsincos分离变数的解xlnlatnBlatnAtxunnncos)sincos(),(xlnlatnBlatnAtxunnncos)sincos(),(100cos)sincos(nnnxlnlatnBlatnAtBAu)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut初始条件)(cos10xxlnAAnn)(cos10xxlnlanBBnntBAtxu000),(所有本征振动的叠加为)0(lx初始条件dlkdlklnAdlkAlnlnlcos)(coscoscos01000nk)(cos10xxlnAAnn)(cos10xxlnlanBBnndlnlAlncos)(20dlkdlklnAdlkAlnlnlcos)(coscoscos010000kdlAl00)(1dlnlAlncos)(20dlkllkBlkcos)(20dlnanBlncos)(20)(cos10xxlnlanBBnndlkdlklnlanBdlkBlnlnlcos)(coscoscos01000nkdlBlk0)(dlBl00)(1dlkdlklnlanBdlkBlnlnlcos)(coscoscos010000kdlnanBlncos)(20本征振动系数100cos)sincos(nnnxlnlatnBlatnAtBAudlAl00)(1dlnlAlncos)(20dlBl00)(1dlnanBlncos)(2002xxtuaulxuut/0000xu0lxxu例：细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为u0,零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度泛定方程边界条件初始条件)()(),(tTxXtxu驻波的一般式分离变量02xxtuau00xu0lxxu边界条件代入泛定方程)()(),(tTxXtxu0)()()(')(2tTxXatTxX代入边界条件0)()0(tTX0)()('tTlX0)0(X0)('lX)()()()('2xXxXtTatT和与x和t无关令（1）、0，=0以下求X0XX0)0(X0)('lX0)()('2tTatT0X仅得无意义的解（2）、0xCxCXsincos210XXxCxCXsincos2102C而由边界条件01C0)cossin(21lClC因为0cosl所以,2,1,0)21(kkl2224)12(lkxlkCX2)12(sin2有0)0(X0)('lX由T满足的方程为本征值0)()('2tTatT0)(4)12()('2222tTlaktTtlakeCT22224)12(分离变数的解2224)12(lkxlkCX2)12(sin2lxkeCutlakkk2)12(sin22224)12(Ck由初始条件定lxkeCutlakkk2)12(sin22224)12(14)12(2)12(sin2222ktlakklxkeCulxuut/00初始条件lxulxkCkk/2)12(sin01dlklulClk2)12(sin200dlklulClk2)12(sin200220)21(2)1(kuk14)12(2)12(sin2222ktlakklxkeCu14)12(2202)12(sin)21(2)1(2222ktlakklxkeku0yyxxuu)0(by00uux0uuax例：矩形薄板的稳定温度分布问题，边界条件如图所示。泛定方程边界条件)()(),(tTxXtxu分离变量xybaO0u0u0uU)0(ax00uuyUuay非齐次边界条件，化简0uvu0yyxxuu)0(by00uux0uuax泛定方程边界条件)()(),(yYxXyxv分离变量)0(ax00uuyUuay0uvu)0(by00xv0axv边界条件)0(ax00yv0uUvay0yyxxvv泛定方程边界条件)()()()(xYxYtXtX和以及0XX0)0(X0)(aX0)()(''yYyY222anxanCXsin有aynaynBeAeYyyBeAeY1sin)(naynnaynnxaneBeAv边界条件所有本征振动的叠加为xanCXsinaynaynBeAeY00yv0uUvay0sin)(1nnnxanBA01sin)(uUxaneBeAnanbnanbn故0sin)(1nnnxanBA01sin)(uUxaneBeAnanbnanbn0nnBAdanuUaeBeAaanbnanbnsin)(200aannuU00cos)(2)cos1()(20nnuU故0nnBAanbnanbneBeA)cos1()(20nnuU])1(1[)(20nnuUnnBA)/(])1(1[)(20anbanbneenuU0sin)(naynnaynnxaneBeAv0sin)(naynaynnxaneeAnnBA)/(])1(1[)(20anbanbneenuU0sin)(naynaynnxaneeAv0uvu000sin)()(])1(1[)(2nnxanabn