复变函数与场论第1讲

电子工程学院复数的应用:电磁学流体力学热学弹性理论复数研究的发展:1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。复数研究的发展:大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根，1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。复数研究的发展:高斯欧拉主要内容:)复数和复变函数)解析函数)复变函数的积分)级数)留数)共形映射)场论教材参考教材第一讲复数域复数的几何表示复数的乘幂与方根复数域:每个复数具有z=x+iy的形式，其中x、y∈R，i是虚数单位(-1的平方根)。x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么称z为一个虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。zyzxIm,Re==212121,yyxxzz==⇔=复数相等：复数的四则运算:9复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。)()()()(21212211bbiaaibaiba±+±=+±+)()())((122121212211babaibbaaibaiba++−=++22222112222221212211))()(bababaibabbaaibaiba+−+++=++9加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律和分配律均成立。共轭复数:iyxz+=,iyxz−=互为共轭复数,zz=22yxzz+=,Re22zxzz==+ziiyzzIm22==−2121zzzz+=+2121zzzz=2121zzzz=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛容易验证设、是两个复数，证明：1z2z21212121,zzzzzzzz=+=+11zz=222111,iyxziyxz+=+=证明：设)()(221121iyxiyxzz+++=+则，)()(2121yyixx+++=)()(2121yyixx+−+=212211zziyxiyx+=−+−=例1：))((221121iyxiyxzz++=则，)()(21212121xyyxiyyxx++−=)()(21212121xyyxiyyxx+−−=212211))((zziyxiyx=−−=111111ziyxiyxz=−=+=例1：例2设、是两个复数，求证：1z2z),Re(2||||||212221221zzzzzz++=+)(||2121221zzzzzz++=+）（证明：））（2121(zzzz++=21212211zzzzzzzz+++=21212221||||zzzzzz+++=)Re(2||||212221zzzz++=例3设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2为两个任意复数,证明1212122Re().zzzzzz+=[证]1212112211221212211212121221121212()()()()()()()()2()2Re().zzzzxiyxiyxiyxiyxxyyixyxyxxyyixyxyxxyyzz+=+−+−+=++−+++−=+=或12121212122Re().zzzzzzzzzz+=+=复平面:¾复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面（z-平面，w-平面等）。¾横轴称为实轴；纵轴称为虚轴。一对有序实数（x，y）平面上一点P复数z=x+iy9复数可以等同于平面中的向量。9向量的长度称为复数的模，定义为：9非零实轴之间的夹角称为复数的辐角，记为：22||yxzr+==k=0,±1,±2,……zArg=θ),(yxozxyrθθcosrx=θsinry=xyArgztg=)(πθkArgz21+=是其中的一个1θ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧±−+=在第负实轴当在虚轴上当在第三象限当在第二象限当在第一、四象限当zz2zarctanzarctanzarctanargππππxyxyxyz9辐角主值argz满足-πargz≤π。9复数“零”的幅角没有意义，其模为零。复数的几种表示:非零复数的三角表示定义为：直角坐标定义为：()θθsincos)sin(cos||irArgziArgzzz+=+=iyxz+=非零复数的指数表示定义为：θireArgzzz==)exp(||利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。θθθsincosiei+=将化为三角形式与指数形式()()()()iiiiz223223+−−+=()()()i2123ii23212i2i32i2i312222−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++−+=z：解例4：1=z6)33arctan(argπ−=−=z;12i2i32i2i32=+−−+=z：解()()()()42624262223223ππππππππ+′−+−+′++=−−++nnmmiiiiArgz()()()()6223223argπ−=−−++iiiiz62652ππππ−=+′=ll()6)33arctan(3argπ==+i()6)33arctan(3argπ−=−=−i()4)1arctan(22argπ==+i()4)1arctan(22argπ−=−=−i复数运算的几何含义：9平面上一矢量与一复数z构成一一对应9复数的加减与矢量的加减一致。2z1z021zz+21zz−2z−2z1z2z关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：||||||)1(2121zzzz+≤+、||||||||)2(2121zzzz−≥+||||||)3(2121zzzz+≤−||||||||)4(2121zzzz−≥−|||Im||,||Re|)5(zzzz≤≤zzz=2||)6(复球面与无穷大:球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。zP对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。NzPZ平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点。无穷远点:若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点∞扩充复平面＝复平面＋∞L,,∞=±∞∞=∞±zz+∞=∞约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外,0,,⋅∞∞÷∞∞±∞等也没有意义。复数相乘:),sin(cos1111θθirz+=设)sin(cos2222θθirz+=)sin)(cossin(cos22112121θθθθiirrzz++=)]sin()[cos(212121θθθθ+++=irr定理2121zzzz=)()()(2121zArgzArgzzArg+=注意多值性复数的乘幂与方根：)(2121212121θθθθ+==iiierrererzz)(2121212121nnininiinerrrerererzzzθθθθθθ+++==LLLL多个复数相乘：01≠z1122zzzz=1122zzzz=1122ArgArgArgzzzz+=,1212zzzz=1212Arg-ArgArgzzzz=)(121212θθ−=ierrzz或者复数相除:n个相同复数z的乘积成为z的n次幂nz)sin(cosθθninrzzzznn+==L复数的方根设θirez=为已知复数，n为正整数，则称满足方程zwn=的所有w值为z的n次方根，并且记为nzw=复数的乘幂设,ϕρiew=则θϕρiinnree=rn=ρθϕiinee=,nr=ρ,2πθϕkn+=L,2,1,0±±=k即,nr=ρ,2nkπθϕ+=L,2,1,0±±=k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkinπθπθπθ+++==+¾可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根。它们模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。1w2w3w4w5woxy平面−Z5=n例5、求所有值：解：由于4)1(i+)4sin4(cos21ππii+=+所以有)]24(41sin)24(41[cos2)1(84ππππkiki+++=+)]216sin()216[cos(2)1(84ππππkiki+++=+3,2,1,0=k有四个根……。]16sin16[cos280ππϖi+=]169sin169[cos281ππϖi+=]1617sin1617[cos280ππϖi+=]1625sin1625[cos280ππϖi+=作业第31页第1；2；14题It’sTheEnd！Thankyou！ComplexFunctionTheoryDepartmentofSEE