复变函数与积分变换----第六章----复旦大学出版社

§6.1共形映射1.共形映射的概念设w=f(z)为z平面上区域D内的连续函数，作为映射，它把z平面上的点z0映射到w平面上的点w0=f(z0)，把曲线C:z=z(t)映射到曲线C':w=f(z(t)).过z0点的两条曲线C1,C2，它们在交点z0处的切线分别为T1，T2，我们把从T1到T2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z0处从C1到C2的夹角.(1)若在映射w=f(z)的作用下，过点z0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z0处是保角的.平移变换w=z+是一个保角映射.函数不是保角映射.它是关于实轴的对称映射.wz原象的伸缩性:象点之间距离与原象点之间距离的比值.00wwzz(2)若极限存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性.000limzzwwzz定义6.1设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射.z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A.经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2.2.解析函数与共形映射设f(z)在z0处解析，且f'(z0)≠0.过z0作一条光滑曲线C，它的方程为z=z(t),t0≤t≤T0,并设z0=z(t0)，且z'(t0)≠0.则Argz'(t0)为z平面上的正实轴到C在点z0的切线的夹角.经过w=f(z)把C映射为w平面上光滑曲线C'，其方程为w=w(t)=f[z(t)],t0≤t≤T0.且w0=f[z(t0)].由于w'(t0)=f'(z0)z'(t0)≠0，所以在w平面上，正实轴到C'在w0处的切线的夹角为Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0)或Argw'(t0)-Argz'(t0)=Argf'(z0).像曲线C'在w0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C在z0处的切线与正实轴的夹角之差总是Argf'(z0)，而与曲线C无关.Argf'(z0)就称为映射w=f(z)在点z0处的转动角.过z0点作两条光滑曲线C1,C2，它们的方程分别为C1:z=z1(t)t0≤t≤T,C2:z=z2(t)t0≤t≤T.且z1(t0)=z2(t0)=z0.映射w=f(z)把它们分别映为过w0点的两点光滑曲线C'1和C'2.它们的方程分别为C'1:w=w1(t)=f[z1(t)],t0≤t≤T0,C'2:w=w2(t)=f[z2(t)],t0≤t≤T0.Argw'1(t0)-Argz'1(t0)=Argf'(z0)=Argw'2(t0)-Argz'2(t0),即Argz'2(t0)-Argz'1(t0)=Argw'2(t0)-Argw'1(t0).上式左端是曲线C1和C2在z0处的夹角，右端是曲线C'1和C'2在w0处的夹角，而这个式子说明了w=f(z)在z0处是保角的.因为f'(z0)存在，且不等于零，则这个极限与曲线C无关.故w=f(z)在z0处的伸缩率具有不变性.0000000()()limlim()(0).zzzzwwfzfzfzzzzzw=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因为w=f(z)在z0处解析，则在该点满足柯西－黎曼方程,uvuvxyyx在该点的雅各比式有2220(,)()0.(,)uvuvfzxyxy映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的.定理6.1如果函数w=f(z)在z0解析，且f'(z0)≠0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf'(z0)表示这个映射在z0的转动角，|f'(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在区域D内处处有f'(z)≠0,那么映射w=f(z)是D内的共形映射.§6.2分式线性变换1.分式线性变换的结构形如的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数.,(0)azbwadbcczd逆变换d,(()()0),wbzadcbcwa两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换(0),(0).zwzazbwczd其中()()0.adbc它由下列三个变换复合而成.(0)()azbabcadwcczdccczd,abcadABcc令.BwAczd;1;.zczdzzwABz2.分式线性变换的性质(1)共形性函数的导数除点和z=∞以外处处存在，而且，映射除那两个点以外是共形的.azbwczddzc2d0d()wadbczczdazbwczd定理6.2分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的.(2)保圆性定理6.3分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成扩充w平面上的圆，即具有保圆性.在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.变换w=az+b是由ξ=az（旋转与伸长）和w=ξ+b（平移）复合而成的.而这个映射将原象平面内的圆或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在扩充复平面上具有保圆性.z平面上的圆的一般方程为22()0AxyBxCyD,22zzzzxyi0,AzzzzD1()2BCi经过映射后1wz0.AwwDww在扩充复w平面上它仍是圆的方程.推论6.1在分式线性变换下，圆C映射成圆C'.如果在C内任取一点z0，而点z0的象在C'的内部，那么C的内部就是映射到C'的内部；如果z0的象在C'的外部，那么C的内部就映射成C'的外部.证明：设z1,z2为C内的任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段z1z2的象为圆弧w1w2，且w1在C'之外，w2在C'之内，那么弧w1w2必与C'交于一点w*，于是w*必是C上某一点的象.但w*又是线段z1z2上某一点的象，因而就有两个不同的点被映射为同一点.这就与分式线性映射的一一对应性相矛盾.故推论成立.(3)保对称性定义6.2设C为以z0点为中心，R为半径的圆周.如果点z,z*在从z0出发的射线上，且满足|z-z0|·|z*-z0|=R2,则称z,z*关于圆周C是对称的.如果C是直线，则当以z和z*为端点的线段被C平分时，称z,z*关于直线C为对称的.规定：无穷远点关于圆周的对称点是圆心.z,z*是关于圆周C的对称点的充要条件是经过z,z*的任何圆周Γ与C正交定理6.4设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像曲线C'的一对对称点.证明：设经过w与w*的任何一圆周Γ'是经过z与z*的圆周Γ由分式线性变换映射过来的.由于Γ与C正交，由保角性，所以Γ'与C'也正交.因此w与w*是一对关于C'的对称点.§6.3确定分式线性变换的条件定理6.5在z平面上任意给定三个不同点z1,z2,z3，在w平面上也任意给定三个不同点w1,w2,w3，那么就存在分式线性变换，将zk依次映射成wk(k=1,2,3)，且这种变换是唯一的.证明：设且(0),azbwadbcczd,1,2,3.kkkazbwkczd()(),1,2,()()kkkzzadbcwwkczdczd333()(),1,2.()()kkkzzadbcwwkczdczd323211231231.wwzzwwzz求出w，即得所求分式线性变换.推论6.2z1,z2,z3所在的圆C的象C′是w1,w2,w3所在的圆.且如果C依z1→z2→z3的绕向与C′依w1→w2→w3的绕向相同时，则C的内部就映射成C′的内部（相反时，C的内部就映射成C′的外部）例6.1求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z0映射为圆心w=0的分式线性变换.解:由定理6.4，z0关于实轴的对称点的像应变为点w=.0z所求分式线性变换有形式,其中k为常数.00zzwkzz因为，而实轴上的点z对应着|w|=1上的点，这时，所以|k|=1，即，这里是实数，00zzwkzz001zzzzike所求的分式线性变换的一般形式为000,Im0.izzwezzz例6.2求将单位圆|z|1映射为单位圆|w|1的分式线性变换.解：不妨设将第一个单位圆内的点z0映射到第二个单位圆的中心w=0.由于关于|z|=1与z0对称，因此的象为.01z01z故所求映射有形式00100.11zzzzwkkzzzz由条件当|z|=1时，|w|=1故将z=1代入上式，有0011,1zwkz从而，|k|=1，即ike于是，所求映射的一般形式为000(1)1izzwezzz.§6.4几个初等函数所构成的映射1.幂函数w=zn(n≥2)，1ddnwnzz当z=z0≠0时.设，则所以映射w=zn在z=z0的转动角为(n-1)0，伸缩率为即映射w=zn在z0点是共形的.000izre00(1)10d,dinnzzwnrez10nnr在z0=0处，设和，由w=zn得和.因此在w=zn的映射下，圆|z|=r映射成|w|=rn，izreiwenrn|z|=1映射成|w|=1.即在以原点为中心的圆有保圆性.射线=0映射成射线；正实轴=0映成正实轴=0；角形域映射成角形域0n02π0()n00n当n≥2时，映射w=zn在z=0处没有保角性.角形域映成沿正实轴剪开的w平面的域，它的一边=0映成正实轴的上沿=0；另一边映成正实轴的下沿.这两个区域之间的映射是一一的.2π0n02π2πn2π例6.4求把角形域映成单位圆|w|1的一个映射.π0arg8z解：将角形域映成上半平面8zπ0arg8zIm0将上半平面映射单位圆|w|1.iwi所求变换为88ziwzi例6.5求将|z|1,Imz0映为|w|1的一个共形映射.解：先将上半单位圆域映为第一象限.此时考虑将1,i,-1依次映射为∞,i,0的分式线性变换.该映射还把-1,0,+1依次映为0,1,∞.为所求映射.11zz11zz再用将第一象限映为上半平面2Im()0最后又选择分式线性变换，该映射将映到|w|1.iwiIm()0222222(1)(1).(1)(1)iizizwiiziz于是，有2.指数函数w=ez的导数w'=ez≠0，所以，由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射.,izxiywe,.xey(1)平面上的直线x=常数，被映射成w平面上的圆周=常数；而y=常数，被映射成射线=常数.(2)把水平带形域映射成角形域0Im(2π)zaa0argwa(3)带形域映射成沿正实轴剪开的w平面：0Im2πz0arg2πw例6.6求把带形域aRe(z)b映射成上半平面Im(w)0的一个映射.解：所求的映射为π()izabawe