第2章电磁场的基本理论4

复习电介质的本构关系：D=εED高斯定律VSdVdSD基本方程微分形式积分形式0E0CdlE守恒性方程ttEE21或021EEen电场强度的边界条件Sn21DDe或SnnDD21电位移矢量的边界条件电位函数的边界条件21Snn2211dwdeeDE21W静电能量公式d21We例2.10同轴线内导体半径为a、外导体内半径为b，内、外导体间填充介电常数为的介质，外加电压为U，求同轴线单位长度内储存的电能。解：设内、外导体单位长度带电量分别为+l和-l，应用高斯定律rlr2eEabdrrEdlUlbaballn22则内、外导体间的电压为abUlln2abrUrlneE单位长度的电容为mFabUCl//ln2abUrdrabrUdEWbaeln2ln21212222一、恒定电场的基本方程2.3恒定电场传导电流：在导电媒质（导体或漏电介质）中产生的电流。运流电流：在真空或气体中产生的电流。恒定电场：由恒定电流产生的电场。据电荷守恒定律：ddtddtdqdSSJ——电流连续性方程的积分形式应用散度定理：dtdJ闭合面是任取的tJ——电流连续性方程的微分形式对恒定电流，电荷在空间的分布不随时间改变，电流连续性方程为00JSJdS即：对于任取的闭合面，总有部分表面上电荷从闭合面内向外流出，同时另外部分表面上电荷则从外向内流进，这两部分电流大小相等，符号相反，因而从闭合面内流出的净电流为零。同时闭合面包围的体积内电荷分布也就不随时间改变，呈一种稳定状态。源和场都不随时间改变，是保守场，无旋场，有00ElEcd二、导电媒质中的传导电流线性、均匀、各向同性的导电媒质内任意一点的电流密度矢量J和电场强度E成正比，即J=E——导电媒质本构关系（欧姆定律的微分形式）其中比例系数称为媒质的电导率，单位S/m(西门子/米）。EJ,SΔlSJΔlEΔlEUSJIIRU电路理论中，电场力单位时间内做功（功率）为（W）——焦耳定律RIUIP2EJpEJEPp20lim——焦耳定律的微分形式JESJlEIUP设体积元=Sl热损耗功率pddPEJ——焦耳定律的积分形式单位时间单位体积00022EJ即：均匀导电媒质（=常数）中电位满足拉普拉斯方程三、恒定电场的边界条件分界面上电场强度的切向分量是连续的电流密度的法向分量是连续的。0orE02121tEEelEntCEd0orJJ02121JJeSJnnnSdnn221121,EJ很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。例2.13如图，一个有两层介质1、2的平行板电容器，两层介质的电导率分别为1、2，极板的面积为S，求该电容器的漏电导G。在外加电压U时，求两极板及介质分界面上的自由电荷密度。解:设电流为IJSIJJJJnn22112211,JEJESIddJdddEdEUUU2211221122112121122112211ddSddSUIGJEDJED2222211111,（媒质21：D1n-D2n=S）上极板：下极板：2112122222221122111111ddUJDDddUJDDnsns分界面：UddJDDnnS211212211122122211如果，则分界面上总有自由电荷存在。EJJESJlEσddSC0000四、恒定电场与静电场的比拟导电媒质中的恒定电场（电源外）静电场（=0的区域）EDDESDlEεddSC0000nnJJEEnntt221121212120nnDDEEnntt221121212120静电比拟：两种场对应的物理量所满足的方程形式上是一样的，若两个场边界条件也相同，那么通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量的关系进行置换，便可得到另一个场的解。两种场对应物理量静电场（=0的区域）导电媒质中恒定电场（电源外）EEDJSSlSlSddddddUIUqGCSESEESJESDllCG2.4恒定磁场一、真空中恒定磁场的基本方程1、恒定磁场的散度和磁通连续性原理由毕奥-萨伐尔定律——磁通连续性原理的微分形式0B即：磁感应强度B的散度恒为零，磁场是一个无通量源的矢量场。利用散度定理——磁通连续性原理的积分形式0SdSB即：穿过任意闭合面的磁感应强度的通量（称为磁通）等于零，磁感应线（磁力线）是无头无尾的闭合线。磁通连续性原理表明自然界中无孤立磁荷存在。2、恒定磁场的旋度和安培定理由毕奥-萨伐尔定律——安培定律的微分形式JB0即：恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的涡旋源。应用斯托克斯定理——安培定律的积分形式IdC0lB即：恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线交链的恒定电流的代数和与0的乘积。例2.14：已知半径为a的无限长直导体通过电流I，计算导体内外的B。解：πrIBIπrBda:rπarIμBπrπaIπrBda:rIdφφφφ2,22,200C20220C0ClBlBlB二、矢量磁位1、矢量磁位的引入ABAB0,0A——恒定磁场的矢量磁位，单位Tm（特[斯拉]米）或Wb/m（韦伯/米）。它是一个无物理意义的辅助矢量。库仑规范0A若要唯一确定A，还需知道A的散度方程。在恒定磁场条件下一般总是规定A的散度为零，即：——库仑规范0AJAABJB00,2、矢量磁位的方程JAJAAA0202——泊松方程对无源区域（J=0）有——拉普拉斯方程02A令无限远处A的量值为零（参考矢量位），则各式的特解分别为;4;4;4000RdJARdJARdJAzzyyxx在直角坐标系下，可以展开为zzyyxxJAJAJA020202;;JA02三个方程的形式和静电场电位的泊松方程完全一样。AAA2:2矢量的拉普拉斯算符3、矢量磁位的计算公式矢量合成后，得RτdJA404、矢量磁位的优点：（1）A的积分公式比B的容易：一个分量的场源变量只产生与它方向相同的矢量位分量，却产生三个分量的磁场B；（2）A的微分方程比B的容易：A的微分方程可以转化为标量方程；（3）可以由矢量磁位A计算磁通量即：A沿任一闭合路径C的环量，等于穿过以此路径为周界的任一曲面S的磁通。）韦伯()(wbdddCsslASASB面电流与线电流的矢量位为lSSRIdRSdlAJA4,400可知：每个电流元产生的矢量磁位dA与此电流元Idl，JsdS，Jd具有相同的方向，这是引入矢量磁位的优点之一。