数学物理方法姚端正CH7作业解答

1数理方法CH7作业解答P119：习题7.11．确定下列初值问题的解（1）02=-xxttuau，0)0,(=xu，1)0,(=xut解：由AlembertD'公式，该问题的解为：tatxatxadatxuatxatx=--+=⋅=∫+-)]([21121),(a（3）02=-xxttuau，3)0,(xxu=，xxut=)0,(解：由AlembertD'公式，该问题的解为：txxtaxdaatxatxtxuatxatx++=+-++=∫+-22333321])()[(21),(aa2.求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为)(xj，初始速度为)('xaj-解：由题意，该问题的定解问题为：02=-xxttuau，0)0,(=xu，)(')0,(xaxutj-=方程02=-xxttuau的通解为：)()(),(21atxfatxftxu-++=将初始条件代入通解中，得到：)()()(21xxfxfj=+①)(')(')('21xaxafxafj-=-即)()()(21xxfxfj-=-②①②联立解得：⎩⎨⎧==)()(0)(21xxfxfj所以，该问题的特解为：)()()(),(21atxatxfatxftxu-=-++=j3.求解弦振动方程的古沙问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=),(),(),(),(xxxuxxxuuuxxttyj解：方程xxttuu=的通解为：)()(),(21txftxftxu-++=④将④式代入定解条件②得：)()2()0(21xxffj=+⑤∞∞-x∞∞-x①②③2将④式代入定解条件③得：)()0()2(21xfxfy=+⑥记yx=2，则⑤⑥两式记为：)2()()0(21yyffj=+⑦)2()0()(21yfyfy=+⑧由⑦⑧两式解得：)0()2()(21fyyf-=y⑨)0()2()(12fyyf-=j⑩所以)]0()0([)2()2()()(),(1221fftxtxtxftxftxu+--++=-++=jy在⑨式中，令0=y，得)0()0()0(21ff-=y，则得)0()0()0(21y=+ff所以，)0()2()2()()(),(21yjy--++=-++=txtxtxftxftxu{或者，在⑩式中，令0=y，得)0()0()0(12ff-=j，则得)0()0()0(21j=+ff所以结果也可写为：)0()2()2(),(jjy--++=txtxtxu}P124：1．求解定解问题：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==+=-0)0,(0)0,(2xuxuatxuautxxtt解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧+===-tttaxxvxvvavtxxtt),(0),(02由AlembertD'公式，该问题的解为：∫-+--+--=+=)()(2)(21);,(tttttatattaxtaxatxaxtdaatxv则由叠加原理，原定解问题的解为：230202161)();,(),(xtatdatxaxtdtxvtxutt+=+--==∫∫tttttt3（2）⎪⎩⎪⎨⎧===-0)0,(0)0,(8xuxuuuyyyxx解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧-===-8),(0),(0ttxvxvvvyxxyy由AlembertD'公式，该问题的解为：ydyxvyaxyax88821);,()()(-=-=∫-+--tattt则由叠加原理，原定解问题的解为：2004)88();,(),(ydydyxvyxuyy-=-==∫∫tttt2．求解下列定解问题：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==+=xxuxuxtuutxxttsin)0,(0)0,(sin解：令ΙΙΙ+=uuu⎪⎩⎪⎨⎧===ΙΙΙΙxxuxuuutxxttsin)0,(0)0,(⎪⎩⎪⎨⎧==+=ΙΙΙΙΙΙΙΙ0)0,(0)0,(sinxuxuxtuutxxtt由AlembertD'公式，txdutxtxsinsinsin21==∫+-Ιaa由无界纯强迫振动解的公式，得∫∫∫-+---==-+--ΙΙttxtxtdtxtxddu0)()(0)]}(cos[)]({cos[21sin21tttttaattttxxtdtxdtxttsinsinsin)sin(sin)sin(sin00-=-=-=∫∫tttttt（上式最后一步用了分部积分法）则xtuuusin=+=ΙΙΙ4（3）⎪⎩⎪⎨⎧===-3)0,(0)0,(2xuxuxuautxxtt解：令ΙΙΙ+=uuu⎪⎩⎪⎨⎧===-ΙΙΙΙ3)0,(0)0,(02xuxuuautxxtt⎪⎩⎪⎨⎧===-ΙΙΙΙΙΙΙΙ0)0,(0)0,(2xuxuxuautxxtt由AlembertD'公式，tdauatxatx3321==∫+-Ιa由无界纯强迫振动解的公式，得20022)()(021)(})]([)]({[212121xtdtxdtaxtaxaddautttaxtaxt=-=----+==∫∫∫∫-+--ΙΙttttttaatt所以2213xttuuu+=+=ΙΙΙ