【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新人教A版

1．直线的倾斜角(1)定义：x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.正向向上(2)倾斜角的范围为．[0，π)0°第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．正切值tanα(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.3．直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)一般式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)截距式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)两点式y＝kx＋b斜率为k，纵截距为b斜截式过点(x0，y0)，斜率为k点斜式局限性方程几何条件名称y－y0＝k(x－x0)不含的直线垂直于x轴不含的直线垂直于x轴y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不包括的直线垂直于坐标轴xa＋yb＝1不包括和的直线垂直于坐标轴过原点1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[试一试]1．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是()A．1B．2C．－12D．2或－12解析：当2m2＋m－3≠0时，即m≠1或m≠－32时，在x轴上截距为4m－12m2＋m－3＝1，即2m2－3m－2＝0，故m＝2或m＝－12.答案：D2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析：∵kMN＝m－4－2－m＝1，∴m＝1.答案：13．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝01．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π解析：设倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.[练一练]答案：B2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝01．(2013·秦皇岛模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案：D2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π则k的取值范围是________．解析：当α∈π6，π4时，k＝tanα∈33，1；当α∈2π3，π时，k＝tanα∈－3，0.综上k∈－3，0∪33，1.答案：－3，0∪33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤:(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.[典例]根据所给条件求直线的方程：[解](1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0＜α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；怎样由正弦值求正切值？故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.思考：应设直线方程的什么形式？[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0解析：由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由12·|5k－4|·|4k－5|＝5得，k＝85或k＝25.[针对训练]答案：D直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：1与基本不等式相结合求最值问题；2直线方程与平面向量的综合应用.角度一与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为xa＋yb＝1，则1a＋1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A1－1k，0，B(0,1－k),所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，当且仅当k2＝1k2，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.角度二直线方程与平面向量的综合2．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当MA·MB取得最小值时，直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)则a＞0，b＞0，直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝1.故MA·MB＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.[课堂练通考点]1．(2014·云南检测)直线x＝π3的倾斜角等于()A．0B.π3C.π2D．π解析：直线x＝π3，知倾斜角为π2.答案：C2．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C．－3D．－33解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.答案：A3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)解析：因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．答案：D4．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝tanα＝2a－1＋a3－1－a＝a－1a＋2.∵α为钝角，∴a－1a＋2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得k1＝－23或k2＝－83.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.