热力学答案8

159第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln.SkΩ=解:对于理想费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为（式{}la（6.5.4））（1）()!,!!lllllΩaaωω=−∏取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））（2）()()lnlnlnln.lllllllllΩaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()lnlnlnlnSkΞΞΞkΞNUαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++（3）()ln,lllkΞaαβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））（4）()lnln1.lllΞeαβεω−−=+∑由费米分布e1lllaαβεω+=+易得（5）1ellllaαβεωω−−+=−和（6）ln.llllaaωαβε−+=将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为（7）lnln.lllllΞaωωω=−∑将式（6）和式（7）代入式（3），有160lnlnlllllllllaSkaaaωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑（8）()()lnlnln.lllllllllkaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑比较式（8）和式（2），知（9）ln.SkΩ=对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln1ln1,ln1ln1,ssssssssssSkffffSkffff=−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中为量子态上的平均粒子数.表示对粒子的所有量子态求和.同时sfss∑证明，当时，有1sf()B.E.F.D.M.B.ln.ssssSSSkfff≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.lnlnlnlnlnllllllllllllllllllSkaaaaaakaaωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑（1）1ln1ln,llllllllllaaaakωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑式中表示对粒子各能级求和.以表示在能量为的量子态上的平l∑lslafω=lεs均粒子数，并将对能级求和改为对量子态求和，注意到ls~,llsω∑∑上式可改写为（2）()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−+−−⎡⎤⎣⎦∑161由于，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.1sf≤对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明（3）()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−−++⎡⎤⎣⎦∑对于玻色系统，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第0sf≥二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在的情形下，式（2）和式（3）中的1sf()()()()1ln11sssssfffff±≈±≈−∓∓∓∓所以，在的情形下，有1sf（4）()B.E.F.D.ln.ssssSSkfff≈≈−−∑注意到，上式也可表示为ssfN=∑（5）B.E.F.D.ln.sssSSkffNk≈≈−+∑上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为（1）32252311122π2NhUNkTgVmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）（2）2,3UpV=可直接求得弱简并气体的压强为（3）32252111,2π2hpnkTngmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦式中是粒子数密度.NnV=由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为162（4）32272311,22π2VVUCThNknmkT∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦∓参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为（5）()0.VCSdTSVT=+∫将式（4）代入，得弱简并气体的熵为（6）()322072311ln.22π2hSNkTNknSVgmkT⎛⎞=±+⎜⎟⎝⎠式中的函数可通过下述条件确定：在()0SV322312πNhnVmkTλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定，从而得弱简并费米（玻色）()0SV气体的熵为（7）332227222π511ln.22π2mkThSNknghgmkT⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数，然后根据式（8.1.6）、lnΞ（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度，气体的化学势将趋于cT-0.在时将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，称为玻色-爱因斯坦凝cTT0ε=聚.临界温度由条件cT163（1）()0de1ckTDnεεε+∞=−∫确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πddLDmhεεε=代入式（1），得（2）2202πd.e1ckTLmnhεε+∞=−∫二维理想玻色气体的凝聚温度由式（2）确定.令，上式可改写为cTcxkTε=（3）2202πd.e1cxLxmkTnh+∞=−∫在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e1ee,e1e1exxxxxx−−−−==+++−−⋯则0d111e123xx+∞=+++−∫⋯（4）11.nn∞==∑式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212xyxVmxyzωωω=++中运动.如果原子是玻色子，试证明：在时将有宏观量级的原子凝聚在cTT≤能量为()02xyzεωωω=++ℏ164的基态，在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式确3,0,NNωω→∞→cT定：31.202,ckTNω⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠ℏ其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为()13.xyzωωωω=0N301.cNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为（1）222222222111,222222yxzxyzpppmxmymzmmmεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyznnnxxyyzznnnεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ℏℏℏ（2）,,0,1,2,xyznnn=⋯如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态上的粒子,,xyznnn数为（3）,,11112221.e1xyzxxyyzznnnnnnkTaωωωµ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−ℏℏℏ处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即（4）()0.2xyzµεωωω≡++ℏ化学势由µ（5）()01,,1e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωωεµ⎡⎤+++−⎣⎦=−∑ℏ确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值时，将趋于临界cTµ0.ε温度由下式确定：cT165（6）()1,,1,e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωω⎡⎤++⎣⎦=−∑ℏ或（7）,,1,e1xyzxyznnnnnnN++=−∑其中(),,.iiicnnixyzkTω==ℏ在的情形下，可以将看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注1ickTωℏin意到在范围内，粒子可能的量子态数为dddxyznnn3ddd,cxyzkTnnnω⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ即有（8）3ddd,1xzyxyzcnnnkTnnnNeω++⎛⎞=⎜⎟⎝⎠−∫ℏ式中()13.xyzωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e1e1eee.xyzxyzxyzxyzxyznnnnnnnnnnnnlnnnl++−++++∞−++−++==⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦=∑积分等于000030dddededede111.202.yxzxyzxyzlnlnlnxyznnnllnnnnnnl∞+∞+∞+∞−−−++=∞==−==∑∫∫∫∫∑所以式（8）给出166（9）13.1.202CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ式（9）意味着，在而保持有限的极限情形下，取有限,0Nω→∞→3NωCkT值.上述极限称为该系统的热力学极限.在时，凝聚在基态的粒子数由下式确定：cTT0N301.202,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ上式可改写为（10）301.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovoetal.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果，则在的情形下，原子在,zxyωωωzkTωℏz方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明CTT时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为的基态，()02xyεωω=+ℏ在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式确定：2,0,NNωω→∞→cT21.645,CkTNω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为()12.xyωωω=0N201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:在的情形下，原子方向的运动将冻结在基态作零点振,zxyωωωz动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在时将有宏观量级的原子cTT凝聚在能量为的基态.临界温度由下式确定：()02xyεωω=+ℏcT16720dde1xyxyCnnkTnnNω+∞+⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫ℏ（1）21.645,CkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中()12,xyωωω=（2）201dd11.645.e1xyxynnlnnl∞+∞+===−∑∫在而保持有限的热力学极限下为有限值，有,0Nω→∞→2NωckT（3）12.1.645CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比由下式确定：CTT≤0N201.645,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ或（4）201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovoetal及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见etal.Gorlirż̇Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在到的圆频率范ωdωω+围内光子的量子态数为（1）()223dd.πVDcωωωω=温度为T时平均光子数为168（2）()()d,d.e1kTDNTωωωωω=−ℏ因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为（3）()2230d.πe1kTVNTcωωω+∞=−∫ℏ引入变量，上式可表示为xkTω=ℏ()3223033233dπe12.404.πxVkTxxNTckVTc+∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠=∫ℏℏ或（3）()332332.40