王孝武(现代控制理论基础课件)第5章

第5章线性定常系统的综合1.引言2.状态反馈和输出反馈3.状态反馈系统的能控性和能观测性4.极点配置5.镇定问题6.状态重构和状态观测器7.降阶观测器8.带状态观测器的状态反馈系统9.渐近跟踪和干扰抑制问题10.解耦问题11.MATLAB的应用本章内容为:5.1引言线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。5.2状态反馈和输出反馈5.2.1状态反馈线性定常系统方程为：DuCxyBuAxx（1）其中，K为反馈增益矩阵；V为r维输入向量。nr假定有n个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。KxVu（2）控制规律为:则有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）结论:1、状态反馈不增加新的状态变量；2、状态反馈不影响B、D矩阵；3、系数矩阵由A变为A-BK;4、输出矩阵由C变为C-DK。采用HyVu（4）H为常数矩阵mr5.2.2输出反馈VDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx])([])([)(11DVDHICxDHIy11)()(（5）结论：1、输出反馈不增加新的状态变量；2、输出反馈使A、B、C、D发生改变；3、D=0时，输出反馈对B、C矩阵无影响。5.3状态反馈的能控性和能观测性线性定常系统方程为CxyBuAxx（6）引入状态反馈KxVu（7）CxyBVBK)xAx(则有（8）两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。定理5-1线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不改变系统的能控性。利用PBH判据,对任意的K矩阵，均有证明IKIBAIBBKAI0)(λλBAIBBKAIλλrank)(rankIKI0因为满秩，所以对任意常值矩阵K和，均有λ（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性。例5-1已知系统方程为：uxxxx1012312121x12y=试验证系统的能控、能观性。5.4极点配置定理线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。状态反馈KxVu（11）线性定常系统CxBAxxyu（10）CxBbK)xA(xyV状态反馈系统方程（12）因为A和b一定，确定K的就可以配置系统的极点。经过线性变换，可以使系统具有能控标准形。xPx1（13）uaaan100100001000010110xxx110nβββy系统传递函数：)()(][][)(011101221111ssasasasβsβsβsβsssgnn-nnn-nn-bAICbAIC（14）（15）引入状态反馈xKxKPKxVVVu1令1101nkkkKPK（16）其中为待定常数110,,,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA引入状态反馈后,能控标准型的系数矩阵为:进一步求出状态反馈系统特征多项式为:)()()()](det[)(Δ0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）设状态反馈系统希望的极点为nsss,,,21其特征多项式为*0*11*11*)()(ΔasasassssnnnniiK（18）比较（17）式和（18）式，选择使同次幂系数相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而状态反馈矩阵110nkkkPKK单输入系统极点配置的计算步骤(P158)例5-2例5-3某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流，即。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数、转动惯量；电动机电枢回路电阻；电枢回路电感；电动势系数为、电动机转矩系数为。选择、、作为状态变量。将系统极点配置到和，求K阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1f2mkg1DJΩ1DRH1.0DLV/(rad/s)1.0eKm/AN1mKoDi31j10解1.建立系统状态空间模型)(oiθKuoAAuKuAPDuKuDDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy2.计算状态反馈矩阵9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控计算出状态反馈矩阵1.02.14210KKKK状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）。FT经过结构变换成（d）图所示的状态图10K因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP12.1KKP21.0KK验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。5.5镇定问题镇定问题——非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定。（23）定理5-2SISO线性定常系统方程为CxbAxxyu显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分量是渐近稳定的。（证明请参见教材163页）那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为1）将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵1PC~A2）确定，化为约当形式2PCA3）利用状态反馈配置的特征值，计算1~A1~K4）所求镇定系统的反馈阵1210~PPKK例5-5系统的状态方程为u011500020001xx试用状态反馈来镇定系统。解矩阵A为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。能控子系统方程为uuCCCCC112001xbxAx引入状态反馈CVuxK~其中21~~~kkK为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为222,1js84)(Δ2*sssK21212211~~22)3~~(~~11200100det)]~~~(det[)(ΔkkskkskkssssCKKbAI同次幂系数相等，得13~1k20~2k5.6状态重构和状态观测器问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。如何解决这个问题？答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。（24）系统方程为)0()(0xxCxyBuAxxt（25）重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同xCyBuxAxˆˆˆˆ（24）式减去（25）式)ˆ(ˆ)ˆ(ˆxxCyyxxAxx（26）当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则。但是实际系统总会有一些差别，因此实际上。xxˆxxˆ（27）当时，也不为零，可以引入信号来校正系统（25），它就成为了状态观测器。xxˆy-yˆ)ˆ(y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAxˆ)()ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆ其中，为矩阵Gnn（24）式减去（27）式)ˆ)((]ˆ)[(ˆx-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由（28）式可知，如果适当选择G矩阵，使(A-GC)的所有特征值具有负实部，则式（27）系统就是式（24）系统的状态观测器，就是重构的状态。0)ˆ(limxxtxˆ定理5-3系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。（证明请参见教材167页）定理5-4线性定常系统的观测器CxyBuAxxGyBuxGCAxˆ)(ˆ（30）可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测。例5-6系统方程为u101200120001xxx011y要求设计系统的状态观测器，其特征值为－3、－4、－5。解首先判断系统的能观测性441121011CQ3rankCQ系统能观测，可设计观测器。设：210gggG其中，待定ig)2,1,0(i希望特征值对应的特征多项式604712)5)(4)(3()(Δ23*sssssssG)424()834()5(detΔ2102102103gggsgggsggssGGCAI而状态观测器的特征多项式同次幂系数分别相等，可以得出210103120210gggG几点说明：1）希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。5.7降阶观测器1.降阶观测器的维数定理5-5若系统能观测，且rankC=m，则系统的状态观测器的最小维数是(n-m)。（证明略）21CCCmCrank因为有m维可以通过观测y得到，因此有(n-m)维需要观测。CxyBuAxx对系统方程采用变换矩阵210CCIP进行线性变换，Pxx1PAPAPBB1CPC（31）得到如下形式的系统方程221212122211211210xxxIyuBBxxAAAAxx可见可以通过观测到，需要对维的进行估计。2xy)(mn1x因此，降阶观测器的维数为(n-m)2.降阶观测器存在的条件及其构成将（31）式改写成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令121222xAuByAyy于是有(n-m)阶的子系统：121xAyu)ByAxAx1121111(（35）以下构造这个子系统的状态观测器（36）yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()(ˆ)()(ˆ)(ˆ因为子系统能观测，所以，通过选择的参数，可以配置的特征值。1G)(21111AAG为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，（37）yGxz11ˆyGxz11ˆyGzx11ˆyGzx1