一元二次方程专项训练(四)

1一元二次方程专项训练(四)【例题精选】例1：解下列分式方程：（1）xxxx11514122；（2）xxxxxxxxx332243156222．解析：解分式方程的基本思路是把它转化成整式方程，具体方法是去分母．这一思路与方法与初二时所学可化为一元一次方程的分式方程基本一致．解分式方程的基本步骤是：（1）找最简公分母，可先把分母进行排列和因式分解，然后找到最简公分母；（2）去分母，方程两边同时乘以最简公分母．这一步是完成分式方程整式化的关键一步，解题时应给予重视；（3）解整式方程，可结合特点，适当选择一元二次方程的不同解法；（4）检验所得答案是否是原分式方程的解，只需代入方程两边同乘的式子，即最简公分母．如最简公分母不为零，这个数就是原分式方程的解，如最简公分母等于零，这个数就是增根，应该舍去．解：（1）xxxx11514122xxxxxxxxxxxxxxxxxxx115141121514211215542234041041222212()()()()()()()(),经检验：x1是增根，x4是原方程的解．∴原方程解为x4；（2）xxxxxxxxx332243156222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx312213123332211941122323222212()()()()()()()()()()()(),经检验：xx122323,都是原方程的解∴原方程解为xx122323,．说明：为正确找到最简公分母，可先将方程中的分母统一排列，分解因式，如第（1）2题中分母．排列为)1(1xx去分母时还应特别注意每一项都应乘以最简公分母，如第（1）题中的2不要漏乘．例2：用换元法解下列方程：（1）31135222xxxx；（2）xxxx2251101057；（3）223222xxxx；（4）912412022xxxx．解析：这几个方程如果直接采用去分母方法都有可能出现高次方程，使题目更复杂，甚至不能求解，因此，应结合题目特点考虑应用换元的方法．其中第（1）小题可发现311322xxxx与互为倒数，如果设其中一个是y，另一个则是1y，即达到换元的目的．第（2）小题类似，只是多了一个系数．第（3）小题左边是一个整式，右边是一个分式，但把222xx看作2212xx就与前面相类似了．第（4）小题应注意xxxx2211与之间的关系，即xxxx121222，此题可运用此关系换元．解：（1）31135222xxxx；设312xxy，则xx2131y，于是原方程可变形为：yy152去分母：225252022yyyy解这个方程得：yy12212，当yxx23122时，32223202122212xxxxxx，当yxx1231122时，616106364231022xxxxx3经检验，xx12212，，x=310都是原方程的解，∴原方程的解为xx12212，，xx34310310，．（2）xxxx2251101057设xxy251，则xxy1512，于是原方程可变形为yyyyyy107107710022解这个方程得：yy1225，．当yxx25122时，225230312212xxxxxx，当yxx55152时，xxxxxx22345555005，经检验：xx1231，，xx3405，都是原方程的解，∴原方程解为：xx1231，，xx3405，（3）223222xxxx设xxy2，于是原方程可变形为23223202yyyy解这个方程组得：yy12212，当yxx222时，xxxx2122021，当yxx12122时，22102xx241202此方程无实根经检验：xx1221，，都是原方程的解，4∴原方程的解是xx1221，（4）912412022xxxx设xxyxxy112222，则，于是原方程可变形为9224209182420924200222()yyyyyy解这个方程得：yy1223103，当yxx23123时，33232304433022xxxx∴此方程无实根．当yxx1031103时，3310310303132212xxxxxx，经检验：xx12313，是原方程的解．∴原方程解为xx12313，说明：应用换元法解分式方程时，仍要检验结果有无增根．例3：判断下列方程是不是无理方程（1）xx222；（2）2152()()xx；（3）x1120．解析：判断是否是无理方程，只有根据无理方程的定义判断，即看根号下是否含有未知数，而不能仅仅看有没有根号．解：（1）是无理方程，因为根号下含有未知数；（2）不是无理方程，因为根号下不含未知数；（3）是无理方程，因为根号下含有未知数．例4：不解方程，判断下列方程解的情况：（1）xx23250（2）x230（3）xx33=05解析：由于aa()0表示a的算术平方根，所以aa00()，我们可以判断第（1）小题解的情况．又因为，只有aa00时，，所以第（2）小题可直接判断答案．第（3）小题，xx33与都是非负数，它们的和为0，即它们同时为0．解：（1）xx2325∵xx232≥0∴此方程无解（2）x230x23∴此方程无实根．（3）xx33=0∴xx3030∴x3例5：解下列无理方程（1）xxx2362（2）23352xx解析：解无理方程的基本思路是：把无理方程转化为有理方程，具体方法是方程两边同时平方．如果方程中有一个根号，可把根号单独放在等号一边，其余有理部分放在另一边，然后两边同时平方，根号即可去掉．如果方程中含有两个根号，可把一个根号单独放在等号一边，其余都放在另一边，平方后，应用完全平方公式，一般仍有一个根号，再把这个根号单独放在一边，其余都放在另一边，两边再次平方，即可把根号去掉．由于无理方程解法中有可能产生不适合方程的解，即增根，因此解出答案应检验是否是原方程的解．检验时须将这个数代入原方程，看方程左右两边是否相等，若左右两边相等，这个数就是原方程的解，若左右两边不相等，或根式没有意义，则这个数就不是原方程的解，而是增根，应该舍去．解：（1）xxx2362两边平方得：xxxxxxxxxxx22221236433602021021()()，经检验：x1是原方程的解，x2是增根，舍去∴原方程解为：x1（2）23352xx6232352343543543521635248804444840222xxxxxxxxxxxxxx()()解这个方程得：xx12242，经检验：x2是原方程的解，x42是增根，舍去．∴原方程解为：x2说明：无理方程检验时，不能只代入被开方式看它是否非负，即不能只检验根式是否有意义，应代入原方程左右两边，看方程是否成立，只要方程不成立，所检验的数就是增根，应舍去．例6：用换元法解下列方程：（1）xxxx22525312；（2）261531422xxxx；（3）381820xxx．解析：本题几个方程若用两边同时平方法去根号，会出现高次方程，不易求解，因此，应考虑换元法．一般设根式为y，当然也要结合题目具体情况进行恰当换元．(1)解：设xxy253，那么xxy2253，因此xxy2253，于是原方程变形为：yyyy2232122150解这个方程，得：yy1253，当y5时，xx2535，根据算术平方根的意义，xx253不可能小于0，所以方程xx253=－5无解．当yxx35332时，两边平方得：xx253=9即：xx2560解这个方程得：xx1261，经检验：xx1261，是原方程的解．∴原方程解为：xx1261，（2）261531422xxxx；设xxy231，则xxy2231，所以xxy2231，于是原方程变形为：21154221542530222()yyyyyy7解这个方程得：yy12312，当yxx33132时，两边平方得：xx231=9即：xx23100解这个方程得：xx1252，当yxx1231122时，，根据算术平方根意义，xx231不可能是负数，因此方程xx23112无解．经检验：xx1252，是原方程的解．∴原方程解为：xx1252，（3）381820xxx设xxyxy8181，则，于是原方程可变形为3120yy去分母，得：32102yy即：32102yy解这个方程得：yy12113，．当yxx181时，，根据算术平方根的意义，xx8不可能是负数，所以方程xx8=－1无解．当yxx13813时，，两边平方得：xxxx81998即：88xx1经检验：x1是原方程的解．∴原方程解为x1．说明：当已求出y的值，进一步求x值时，如出现二次根式等于一个负数时，如xx253=－5，可根据算术平方根意义，直接得无解，不要两边平方去求解．如果两边平方,求出的答案也必然是原方程的增根．例7：解下列高次方程：8（1）xxx32560；（2）xxx3244160；（3）xx42450．解析：解高次方程的基本思路是把它降次，转化为一元一次方程或一元二次方程．降次的具体方法是因式分解．应注意灵活运用因式分解的几种方法．第（3）小题是一个只含有未知数的偶次项的一元四次方程，叫双二次方程，可把x2看作一个整体进行因式分解．解：（1）xxx()2560xxxxxx()()610061123，，（2）()()xxx3244160xxxxxxxxxxx2212344404404220422()()()()()()()，，（3）()xx222450()xxx2250105或无实根∴原方程解为xx1255，例8：用换元法解方程．（1）()()xxxx222812（2）()()xxxx22212240解析：本题两个方程如果展开即为一元四次方程，不易求解．观察方程特点，可采取换元法求解．解：（1）设xxy2，于是原方程可化为：yy2812即：yy28120解这个方程得：yy1226，当yxx222时，xx220解这个方程得：xx1221，当y6时，xx26即：xx260解这个方程得：x3=3,x4=－2∴原方程解为：xx1221，，x3=3,x4=－2．（2）[()][()]xxxx22212240设xxy2，则原方程可变形为()()yyyy212240142424029即：yy214480解这个方程得：yy1268，当yxx662时，即：xx260解这个方程为：xx1232，当yxx882时