高考数学——定积分与微积分基本原理

高考数学——定积分与微积分基本定理【学习目标】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【基础检测】1.01(ex＋2x)dx＝____.e【解析】01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e＋1)－1＝e.2.由直线x＝－π6，x＝π6，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为____.【解析】S＝6606cos2cosxdxxdx2sinx60＝1.13.(1)－111－x2dx＝____.(2)两个常用性质：设M＝0af(x)dx，①若f(x)是区间[－a，a]上的偶函数，则－aaf(x)dx＝____；②若f(x)是区间[－a，a]上的奇函数，则－aaf(x)dx＝____.π22M0【解析】(1)根据定积分的几何意义知，所求的定积分是曲线y＝1－x2和x轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是π2，故－111－x2dx＝π2.(2)根据偶函数和奇函数的图象特点，易得结论．4．由曲线y＝x，y＝x2围成的封闭图形的面积为()A.16B.14C.13D.112【解析】由得两条曲线的交点为(0，0)，(1，1)．∴.故选A.A2yxyx22311111()d00236Sxxxxx【知识要点】1．定积分的定义及相关概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝∑ni＝1b－anf(ξi)．这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝________________(k为常数)；(2)ab[f(x)±g(x)]dx＝_____________________；(3)abf(x)dx＝__________________(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，那么abf(x)dx＝________________．kabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dxF(b)－F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作___________，即abf(x)dx＝___________________．F(x)|baF(x)|ba＝F(b)－F(a)一、微积分基本定理及应用例1求下列定积分：(1)12(3x2＋2x)dx；(2)01(ex＋2x)dx；(3)14x＋1xdx；(4)∫π20(cos2x－2sinx)dx.【解析】(1)原式＝(x3＋x2)21＝12－2＝10.(2)原式＝01exdx＋012xdx＝ex10＋x210＝e－1＋1＝e.(3)原式＝14xdx＋141xdx＝23x3241＋lnx41＝322(41)3＋ln4－ln1＝143＋ln4.(4)原式＝cos2xdx－2sinxdx＝12sin2xπ20＋2cosxπ20＝0－0＋0－2＝－2.π20π20【点评】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或差；②分别用求导公式找到一个相应的原函数；③计算原始定积分的值.二、定积分几何意义及应用例2(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4(2)曲线y＝x3－4x与x轴所围成的封闭图形的面积是____.(3)抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4围成的平面图形的面积是____.D89【解析】(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为02(4x－x3)dx＝2x2－14x420)＝4，故选D.(2)由x3－4x＝0得x＝0或x＝±2，函数图象如图所示，则曲线y＝x3－4x与x轴所围成的封闭图形的面积S＝S1＋S2，其中S1＝－20(x3－4x)dx，S2＝－02(x3－4x)dx.根据微积分基本定理和定积分的性质知，S1＝－20(x3－4x)dx＝x44|0－2－2x2|0－2＝－4＋8＝4，S2＝－02(x3－4x)dx＝－x44|20－2x2|20＝－(4－8)＝4，所以S＝4＋4＝8.(3)画出图形，如图所示，直线和曲线的交点坐标为(1，－2)和(4，4).若选用x为积分变量，则要分成两部分加以计算.故面积S＝01[2x－(－2x)]dx＋14(2x－2x＋4)dx＝4×23x32|10＋2×23x32|41－x2|41＋4x|41＝83＋323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.【点评】定积分的主要应用之一就是求曲边图形的面积，基本方法是根据定积分的几何意义把所求的面积转化为一个函数的定积分.在转化时要注意选择合理的积分变量以简化运算.三、定积分在物理学中的应用例3已知做变速直线运动的质点的速度方程是v(t)＝t（0≤t≤20），20（20t≤80），100－t（80t≤100）(单位：m/s).(1)求该质点从t＝10s到t＝30s时所走过的路程；(2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程.【解析】(1)S1＝1030v(t)dt＝1020tdt＋203020dt＝350(m).(2)S2＝0100v(t)dt＝020tdt＋208020dt＋80100(100－t)dt＝1600(m).【点评】定积分在物理中的应用主要涉及两个方面：求做变速直线运动的质点所走过的路程和求变力所做的功.高考也有可能在这些学科交叉点上命题.四、定积分的综合应用例4如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a1)交于点O、A，直线x＝t(0t≤1)与曲线C1，C2分别交于点D、B，连结OD、AD、AB.(1)写出由线段OD，DA，BA及曲线OB所构成曲四边形ABOD的面积S与t的函数关系S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0，1]上的最大值.【解析】(1)曲线C1，C2的交点为O(0，0)，A(a，a2)且B(t，－t2＋2at)，D(t，t2).故f(t)＝0t(－x2＋2ax)dx－12t·t2＋12(－t2＋2at－t2)·(a－t)＝－13x3＋ax2t0－12t3＋(－t2＋at)(a－t).∴f(t)＝16t3－at2＋a2t(0t≤1).(2)f′(t)＝12t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0，解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a(舍去).当(2－2)a≥1即a≥2＋22时，f′(t)≥0在t∈(0，1]上恒成立，所以S＝f(t)在(0，1]上为增函数，所以[f(t)]max＝f(1)＝a2－a＋16，当(2－2)a1即1a2＋22时，∵0t(2－2)a⇔f′(t)0，∴S＝f(t)在(0，(2－2)a]上是增函数，在((2－2)a，1]上是减函数，∴[f(t)]max＝f((2－2)a)＝22－23a3.综上所述，[f(t)]max＝a2－a＋16，a≥2＋22，22－23a3，1a2＋22.〔备选题〕例5设f(a)＝01|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；(2)当a≥0时，求f(a)的最小值.【解析】(1)0≤a≤1时，f(a)＝01|x2－a2|dx＝0a(a2－x2)dx＋a1(x2－a2)dx＝a2x－13x3|a0＋x33－a2x|1a＝a3－13a3－0＋0＋13－a2－a33＋a3＝43a3－a2＋13.当a＞1时，f(a)＝01(a2－x2)dx＝a2x－13x3|10＝a2－13.∴f(a)＝43a3－a2＋13（0≤a≤1），a2－13（a＞1）.(2)由于a2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－13＝23.当a∈[0，1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，由f′(a)＞0得a＞12或a＜0，故f(a)在0，12上递减，在12，1上递增.因此在[0，1]上，f(a)的最小值为f12＝14.综上可知，f(a)在[0，＋∞)上的最小值为14.【点评】(1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式.(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细.1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案.1.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln5B.8＋25ln113C.4＋25ln5D.4＋50ln2C【解析】7－3t＋251＋t＝0，解得t＝4或t＝－83(不合题意，舍去)，即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln（1＋t）|40＝4＋25ln5.2.若s1＝12x2dx，s2＝121xdx，s3＝12exdx则s1，s2，s3的大小关系为()A.s1＜s2＜s3B.s2＜s1＜s3C.s2＜s3＜s1D.s3＜s2＜s1B【解析】因为s1＝13x3|21＝13(23－13)＝733；s2＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln21；s3＝ex|21＝e2－e3.所以s2＜s1＜s3.3.曲线y＝2x与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为()A.2－ln2B.4－2ln2C.4－ln2D.2ln2B【解析】直线y＝x－1与曲线y＝2x的交点坐标为(2，1)，则S＝24（x－1）－2xdx＝12x2－x－2lnx|42＝4－2ln2.4.若0Tx2dx＝9，则常数T的值为____.3【解析】0Tx2dx＝13x3|T0＝13T3＝9，所以T＝3.5.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若03f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝____.±3【解析】03f(x)dx＝03(ax2＋b)dx＝a3x3＋bx30＝9a＋3b＝3f(x0).∴f(x0)＝3a＋b＝ax20＋b，∴x20＝3，∴x0＝±3.6.计算－22(4－x2＋x2)dx的值为.2π＋163【解析】由于－22