已知值域求解参数

一、一元二次函数已知值域求参数例1：已知函数的值域为，求的取值范围。分析：要大部分学生认为首先要开口向上，然后满足。其实，这里学生犯的错误是没理解清楚值域为的真正含义，它是要求值域从0开始全部都要取到，不能多也不能少。当时，不满足题意，所以只有时满足。解法1：的值域为时满足，解得解法2：，开口向上，也可理解为，解得。例2：已知函数的值域为，求的取值范围。解：的值域为，又，由题意有在上成立，即在上恒成立，，解得。注意：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。二、含偶次根号的函数已知值域求参数例3:已知函数的值域为，求的取值范围。若设，在不知道取值的情况下，的值的范围是的一个子集，要满足，要取遍非负实数，所以且开口向上。正解:时，，不合题意。时，开口向下，达不到值域为。时，设，则且设的值域为D，所以，所以要取遍非负实数，即，解得。注意：二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论，若此问题要转化为不等式恒成立问题，要清楚的知道函数定义域，否则会出现错误的答案。三、指数型函数中已知值域求参数已知函数的定义域为，求的取值范围。解析：设，当时，，所以时满足时，，解得。或：。注意：由指数函数和对数函数构成的复合函数的有关性质时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.四、对数型函数中已知值域求参数例5：已知函数的值域为R，求的取值范围。分析：部分学生认为，因为的值域为R，所以对恒成立，而的开口向上，从而，解得。若函数的定义域为R，求实数的取值范围。事实上，在对数型复合函数中，当值域为R时，它表示函数的值可取遍全体正实数。所以函数的最小值要不大于0，即函数满足；而当函数的值域为R，它表示对一切，函数的值恒正，所以它们是两类不同的问题。解法1：函数的值域为R，设，对时，可取遍全体正实数，的值域包含了从而，解得。解法2：函数的值域为R，设对时，可取遍全体正实数，的最小值不大于0，，解得变式：已知函数的值域为，求的取值范围。解析：的值域为，设，等价于的值域要取遍且不能多取。所以，解得。注意：破解问题时，应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为A”与“恒成立”与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们，在平时的学习中，应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别。五、应用练习习题：对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.解:记，（1）恒成立，，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为∴命题等价于，∴a的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即a的值为2；（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.∵的值域是，∴命题等价于；即a的值为±1；（6）命题等价于：，即，得a的取值范围是.