梯形的定义与等腰梯形的性质

二、新知引入：（1）用长方形和透明直尺交叠在一起，重叠部分形成的是平行四边形，为什么？（2）操作：用纸剪下一个任意三角形，把透明直尺放在三角形上，如果重叠的部分是四边形，观察该四边形的四条边有什么特点？“有一组对边互相平行，另一组对边不平行”如果把透明直尺略微转一下方向，再看看现在还具有这样的特点吗？（3）你们是怎么知道这一特点的呢？这个四边形的一组对边是原来长方形的一组对边，所以它们是互相平行的，另一组对边是原来三角形的两条边，它们是不平行的。（4）你们知道这样的图形叫什么吗:你找到梯形了吗？你找到梯形了吗？试一试：在下面的图形中怎样剪一刀使其变成一个具有上述特点的图形？为什么？（用一条虚线在图上画出剪的位置）ABCDABCDABCDA二、自主整理1、（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，在两底之间，与底垂直的线段叫做梯形的高（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（3）一腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。DCBE有效训练：1、如图，四边形ABCD中，当，且AB不平行于CD时，四边形ABCD是梯形。2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，则上底是，下底是，腰是。3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，当=时，梯形ABCD是等腰梯形。ADBC第1，2，3题图AD∥BCADAB、CDBCABCD三、新知探究试一试：有一个矩形纸片,如果用剪刀只剪一刀,怎样能得到一个等腰梯形?完成后想一想：1、等腰梯形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？2、等腰梯形同一底上的两个内角的关系呢？证明这个结论的正确性：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD求证：∠B=∠C,∠A=∠ADC证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E.于是∠1=∠B∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形.∴AB=DE.∵AB=CD,∴DE=CD.∴∠1=∠C.∴∠B=∠C.∵∠A与∠B互补，∠ADC与∠C互补，∴∠A=∠ADC.ABCDE13、等腰梯形的性质定理1、ABCD谁能想出更好的方法证明性质定理1吗？等腰梯形同一底上的两个内角相等A证法:过点A作AE⊥BC垂足为E过点D作DF⊥BC垂足为F由HL定理可得△ABE≌△DCF∴∠B=∠CDBCEF法3：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E,则四边形ABCE为平行四边形∴AB=CE,∠B=∠E,∠BCD=∠EDC又∵AB=CD,∴CE=CD,∴∠EDC=∠E∴∠B=∠BCDABDCE证法：延长BA,DC交与点E,由AD∥BC可得AE=DE,∴BE=CE,∴∠B=∠CBAECD有效训练1、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AD=2，BC=4，则EC=。2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AD=2，BC=4，∠B=60°，则AB=。223、上面我们研究了等腰梯形的两组对边的关系及角的关系，那么对于等腰梯形的对角线存在怎样的关系呢？证明这个结论的正确性：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC求证：AC=BD证明：∵AD∥BC,AB=DC，∴∠ABC=∠DCB∴在△ABC与△DCB中∴AB=CD∠ABC=∠DCBBC=CB∴△ABC≌△DCB.∴AC=BDADCB平行移对角线等腰梯形的性质定理2:等腰梯形的两条对角线相等有效训练：如图：已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC⊥BD，垂足为O，BD=8cm，则梯形ABCD的面积为。32cm2三、精讲点拨：例1、如图，在等腰梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=60°，AD=15，AB=20，求BC的长。解:如图，分别延长BA，CD交于点E。∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴∠B=∠C=∠EAD=∠EDA=600.∴EA=ED，EB=EC.∴△EAD与△EBC都是等边三角形.∴BC=BE=BA+AE=BA+AD=20+14=35.变式训练：你还更好的添加辅助线的方法，求出BC的长吗？BCADE课堂小结：这节课的收获是什么？1、本课学习了梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，等腰梯形的性质；2、通过在等腰梯形中添加适当辅助线，将梯形问题有效地转化为平行四边形及特殊三角形加以解决；作高平行移腰平行移腰平行移对角线延长两腰五、当堂检测1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠A：∠B=3：1，则∠A=度。2、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若AC=3cm，则BD=cm3、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=30°，则∠A=°，∠D=°4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，DF是高，则CFEF。135=150903解：将腰AB平移到DE的位置ABCDFE∴四边形ABED是平行四边形∴AB∥DE，AB=DE∴BE=AD=2，AB=DE=CD在等腰△DEC中，DF是高∴CF=½EC=1∴EC=BC–BE=4–2=2在Rt△DFC中，根据勾股定理得CF²+DF²=CD²即CD²=1²+2²=5∴CD=5还有其它的方法吗？小结:四边形的问题我们经常转化为特殊三角形(Rt△)的问题,再利用勾股定理解决.拓展延伸：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，，BC=4,高DF=2,求腰CD的长。