高中数学导数压轴题(三)

第1页（共48页）高中数学导数压轴题（三）CollectbyLX2017.02.261．已知函数（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：．2．已知函数．（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．3．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．4．已知函数在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；（3）设函数g（x）=x2﹣2ax+a，若对于任意x1∈R的，总存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围．5．已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣lnx．（1）如果函数g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范围；第2页（共48页）（2）设函数F（x）=f（x）﹣+．试问函数F（x）是否存在零点，若存在，求出零点个数，若不存在，请说明理由．7．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3+ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．8．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．9．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．10．已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x）≥0在R上恒成立．（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．11．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．12．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．13．已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；第3页（共48页）（3）证明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N+）．14．已知函数为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；（3）求证：对于任意的成立．15．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．16．设函数f（x）=（x﹣1）2+blnx，其中b为常数．（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．17．已知函数f（x）=+lnx﹣2，g（x）=lnx+2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．18．设函数f（x）=x﹣aex﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=（1）求证：（i=1，2，3…n）（2）求证：A．19．已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞…恒成立．20．已知函数f（x）=ln（x+）+，g（x）=lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果关于x的方程g（x）=x+m有实数根，求实数m的取值集合；第4页（共48页）（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）=kg（x）有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：．22．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+，a∈R．（1）当a=﹣时，求f（x）的最大值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|恒成立，求实数a的取值范围．23．已知函数f（x）=（a+）en，a，b为常数，a≠0．（Ⅰ）若a=2，b=1，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，b＞0，求函数f（x）在区间[1，2]的最小值；（Ⅲ）若a=1，b=﹣2时，不等式f（x）≤lnx•en恒成立，判断代数式[（n+1）！]2与（n+1）en﹣2（n∈N*）的大小．24．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，求证：．25．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（3）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．26．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．27．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．28．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．第5页（共48页）（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．29．设函数；（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数a1，a2，a3，…，am，am+1，am+2，am+3，am+4，使得f（a1）+f（a2）+…+f（am）＜f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由．30．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．第6页（共48页）2017年02月26日LX的高中数学组卷3参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•临潼区校级模拟）已知函数（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）根据y=f（x）与y=g（x）交点处有共同的切线，建立方程组，解之可求出切点坐标，以及切线的斜率，从而求出切线方程；（Ⅱ）由条件知，然后讨论a的正负，利用导数研究函数的单调性，从而求出求出h（x）的最小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=﹣2ln2a，从而分别求出、、的值，然后利用基本不等式可得结论．【解答】解：（Ⅰ），由已知得解得，∴两条直线交点的坐标为（e2，e），切线的斜率为，∴切线的方程为（Ⅱ）由条件知，∴（ⅰ）当a＞0时，令h'（x）=0，解得x=4a2，∴当0＜x＜4a2时，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；当x＞4a2时，h'（x）＞0，h（x）在（4a2，+∞）上递增∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，从而也是h（x）的最小值点∴最小值φ（a）=h（4a2）=2a﹣aln4a2=2a（1﹣ln2a）（ⅱ）当a≤0时，在（0，+∞）上递增，无最小值，故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a（1﹣ln2a）（a＞0）第7页（共48页）（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=﹣2ln2a对任意的a＞0，b＞0①②③故由①②③得．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了基本不等式的应用，以及计算能力，属于中档题．2．（2015•长春四模）已知函数．（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【考点】实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）因为，x＞0，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）因为，x＞0，则，（1分）当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x