高中数学导数压轴题(二)

第1页（共43页）高中数学导数压轴题（二）CollectbyLX2017.02.261．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．2．已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．（1）求c的值；（2）求证f（1）≥2；（3）求|α﹣β|的取值范围．3．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．4．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．5．已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．6．已知函数，且f′（﹣1）=0（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．第2页（共43页）7．已知函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x﹣a在区间（0，1]内是减函数．（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3有唯一解；（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．8．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；（Ⅲ）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．9．已知f（x）=xex﹣ax2﹣x．（1）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上递增，[﹣1，0]上递减，求f（x）的极小值；（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．10．对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．11．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当n∈N*，求证：ln2．12．已知函数（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：．13．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，求a的值；（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：．14．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．第3页（共43页）（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．15．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．16．已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．17．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．18．已知函数．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．19．设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜N，a＞0（1）若a=2时，求m，n的值；（2）求f（m）+f（n）的取值范围；（3）若a≥+﹣1（e是自然对数的底数），求证：f（n）﹣f（m）≤2﹣e+．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．21．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．第4页（共43页）（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当＜x＜y＜1时，试比较与的大小．23．已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；（2）已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，4]，试判断f（x）是否为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（3）已知b＞0，函数f（x）=﹣x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．24．已知函数f（x）=x3﹣（2a+1）x2+（a2+a）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；（Ⅱ）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（Ⅲ）若a＞﹣1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．25．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．26．已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3e2lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时，恒成立，求实数a的取值范围．27．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；第5页（共43页）（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．28．已知函数（a为常数）．（1）求f′（x）；（2）当a=1时，求f（x）在x∈上的最大值和最小值（e≈2.71828）；（3）求证：ln＞．（n＞1，且n∈N*）29．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为，求a的值．30．已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；（3）当时，求函数f（x）的极小值．第6页（共43页）2017年02月26日LX的高中数学组卷2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•宿州三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．（II）求出g（x）的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得对x∈（0，+∞）上恒成立设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．第7页（共43页）2．（2015•梅州校级模拟）已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方