高中数学应用题专题复习

高中应用题专题复习[考点概述]数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。4、与直线、圆锥曲线有关的题型常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。6、与排列、组合有关的问题运用排列、组合等知识解决7、与概率、统计有关的应用问题一．代数的应用题1．求函数表达式：例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积×高=48底面积×3=48底面另一边长：m=x16池壁造价=池壁面积×a=2(3x+3m)×a=6(x+x16)a=6(x+x16)a池底造价=底面积×2a=16×2a=32a∴y=6(x+x16)a+32a(x0)2．面积问题：思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？例2.有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=67x∴窗框的高为3x，宽为376x即窗框的面积y=3x·376x=7x2+6x(0x76)配方：y=79)73(72x(0x2)∴当x=73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.3．利润问题：（1）利润=收入成本（2）利润=单位利润×销售量例3．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元.如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？解：设每月生产x件产品，则总收入为80x,直接生产成本为60x,其他开支50000元，即知总成本为60x+50000∴每月利润是：总收入总成本=80x(60x+50000)=20x50000依题意有：20x5000≥200000x≥12500答：该工厂每月至少要生产12500件产品.x2x例4.将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价进货单价=108=2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润=2+x元,销售量为10010x个∴每个商品的利润y=(2+x)(10010x)=10x2+80x+200=10(x4)2+360即当x=4时，y有最大值360∴当每个商品的单价为14元时，利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×(1+增长的百分率)经过x年增长率为负：原产量×(1增长的百分率)经过x年例5.一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%.写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x年后，年产量为y,则y=a(1+p%)x例6.某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.解：设原来总产值为a,平均增长率为x，则经过10年的总产值为a(1+x)10即有：a(1+x)10=2a1+x=102取常用对数：lg(1+x)=2lg101=0.03011+x=1.072x=0.072=7.2%∴每年比上一年平均增长7.2%.例7.电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P.97.例2）解：设经过x年可以增长到原来的2倍，则(1+10.4%)x=2xlg1.104=lg270429.03010.0104.1lg2lgx答：大约经过7年.5．记数问题：例8.一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm,将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.解：由平面几何知识可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列∵a1=12,a11=22∴公差d=1111111aa∴所求的线段长度的和为a2+a3+…+a10=1532)2113(929)(102aa例9.画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1）第10个正方形的面积（2）这10个正方形的面积的和解：（1）设{an}表示各正方形的面积∵a1=22=4,a2=(22)2,a3=42=8∴{an}是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a10=a1q9=4×29=2048(厘米2)（2）这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110qqaS（厘米2）例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下.当它第10次着地时，共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a1,a2,…,a10.∵a1=100,a2=50,a3=25∴{an}是公比为21的等比数列则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010S∴本球共经过的路程为S=2S10100≈300（米）6．图表应用题例11．中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：存期1年2年3年5年年利率（%）2.252.432.702.88个人存款取得的利息应依法纳税20%.现某人存入银行5000元，存期3年，试问3年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？解：∵三年后连本带利一共有：5000(1+2.7%)3≈5416.03（元）∴银行利息一共有：5000(1+2.7%)35000=416.03（元）应纳税：416.03×20%=83.21（元），实际取出的金额：5416.0383.21=5332.82（元）例12．光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.表一：表二：品种每天加工吨数品种每吨获利润（元）酸奶3鲜奶500奶片1酸奶1200奶片2000光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？解：方案一：四天制成奶片4吨用去牛奶4吨，其余5吨牛奶卖掉利润为：4×2000+5×500=10500（元）方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用1x=x天，制做酸奶共用3y天，依题意得：439yxyxx=1.5,y=7.5，即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨∴利润为：1.5×2000+7.5×1200=12000（元）由上可知：第二种方案获得的利润大.二．三角的应用题1．弧长问题例13．某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求：（1）飞轮每秒钟转过的弧度数;（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.解：(1)∵飞轮半径r=0.6m,每秒钟逆时针旋转5转∴飞轮每秒钟转过的弧度数是5×2=10(2)轮周上一点每秒钟经过的弧长l=10×0.6=6(m)2．电学例14．电流I随时间t变化的函数关系式是I=Asinωt.设ω=100(rad/秒)，A=5（安培）.（1）求电流强度I变化的周期与频率;（2）当t=0,2001,1001,2003,501(秒)时，求电流强度I解：(1)周期T=2=501,频率f=501T24xy0BAOyxMBAOyxF1F2··(2)∵I=5sin100t∴I(0)=0,I(2001)=5sin2=5,I(1001)=5sin=0,I(2003)=5sin23=5,I(501)=5sin2=03．利用三角函数解决有关面积问题例15．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？解：如图，设矩形对角线与一边的夹角为则矩形的长为2Rcos,宽为2Rsin∴矩形面积S=4R2sincos=2R2sin2当=45时，Smax=2R2,即横截面为正方形时面积最大.三．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米.当水面下降1米时，水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2=2py依题意知：x=2时，y=2代入方程得p=1即抛物线方程为x2=y,当水面下降1米时，y=3x=3∴水面宽为2x=32≈3.5(米)例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ac=|OA||OF2|=|F2A|=6371+439=6810a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755∴a=7782.5,c=972.5b2=7721.52即卫星的轨道方程是：1772277832222yx例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t+3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M则|MA|=340t,|MB|=340(t+3)=340t+1020两式相减：|MA||MB|=1020(|AB|=14001020)