信号与系统--零输入响应和零状态响应

信号与系统§2.2.3零输入响应和零状态响应信号与系统起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。外加激励源系统的完全响应共同作用的结果可以看作起始状态等效激励源系统的完全响应=零输入响应+零状态响应(线性系统具有叠加性)信号与系统也称固有响应，对应于齐次解。由系统本身特性决定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。形式取决于外加激励。对应于特解。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：强迫响应：零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义自由响应＋强迫响应(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)信号与系统系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统起始状态值决定的初始值求出待定系数。零输入响应nkcdtyddttydakknkkk,,2,1,0,)0(0)(zik0zik起始条件：1()intziiiytCe系统方程：解的形式：由起始状态求待定系数。信号与系统系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由起始状态值为零决定的初始值求出待定系数。零状态响应系统方程：解的形式：齐次解+特解nkdtyddttxdbdttydakzxmkkknkkzsk,,2,1,0,0)0()()(k0k0k起始条件：1()()intipiytCeyt由初始条件求待定系数，需要计算从到跳变，一般根据实际的工程问题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。。00信号与系统用经典法求解微分方程完全解的待定系数时，作为一个数学问题，所需要的初始条件常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解中的各项系数iCiC而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻加入，系统的响应时间范围是，则系统的初始条件要根据系统的原始内部储能和激励接入瞬时的情况来确定。0tt0如具体电路系统，根据如下条件从起始条件求初始条件)0()0()0()0(LLCCiiuu时刻等效电路0t零状态响应信号与系统【例2-2-6】如图2-2-2所示的电路，以前开关位于“1”，已进入稳态，时刻，与同时自“1”转至“2”，求输出电压的零输入响应、零状态响应和完全响应。0t0t1S2S)(tuH1F1V102)(tu2S1S3A1122)(tuC)(tiLV10)0()0(CCuuA5)0()0(LLii激励加入的瞬时0t信号与系统零输入响应H1F1V102)(tu2S1S3A1122)(tuC)(tiLF1H1)(tiL)(tuC)(tu2()Lut零输入等效电路0t0)()(dd2)(dd2tututtutzizizi零输入响应形式为列写电路的微分方程为：tzitzizitCCtuee)(21(0)t信号与系统零输入响应形式为tzitzizitCCtuee)(21(0)t其中，待定系数和得根据初始条件和确定。1ziC2ziC)0(ziu)0(ddziut时刻的零输入初始值等效电路0tF1H1)(tiL)(tuC)(tu2V10)0()0(CCuuA5)0()0(LLiiV10)0(CuF1H1A5)0(Li)(tiL)(tuC)(tu2零输入响应信号与系统V10)0(CuA5)0(Li)(tiL)(tu2V10)0(CuF1H1A5)0(Li)(tiL)(tuC)(tu2V10)0(ziu由电路可求得：dd(0)(0)ddziLuiRtt(0)d(0)0dLLuitLd(0)0V/sdziut信号与系统零输入响应形式为tzitzizitCCtuee)(21(0)t初始条件V10)0(ziud(0)0V/sdziut可求得零输入响应为：ttzittue10e10)((0)t零输入响应信号与系统讨论：由时刻的电路0tH1F1V102)(tu2S1S3A1122)(tuC)(tiL可计算(0)10V=(0)ziziuudd(0)0V/s=(0)ddziziuutt在零输入的情况下，起始点没有跳变。可以起始条件计算零输入响应。不用计算初始条件。零输入响应信号与系统零状态响应零状态响应：不考虑系统起始储能，零状态响应等效电路如图H1F1V102)(tu)(tuC)(tiL3A)(tis列出零状态等效电路的微分方程为)(2)()(dd2)(dd2titututtutszizszs其中，，，0)0(zsu0)0(ddzsut)(3)(tutis根据微分方程经典解法易求得零状态响应中的特解为常数6__12()()()ee6ttzszshzspzszsutututCCt(0)t信号与系统6ee)(21tzstzszstCCtu(0)t零状态响应其中，待定系数和得根据初始条件和确定。1zsC2zsC(0)zsud(0)dzsut时刻的零状态初始值等效电路0t0)0()0(CCuu0)0()0(LLii)0(zsu)0(ddzsut零状态响应信号与系统V102)(tiL3A)(tis)0(Lu)(tuH1F1V102)(tu)(tuC)(tiL3A)(tis0)0()0(CCuu0)0()0(LLiiV0)0(zsu求得初始条件为dd(0)(0)ddzsLuiRtt(0)d(0)0dLLuitLd(0)0V/sdzsut信号与系统H1LF1C2()10xtV1R()it21()txteV21S0t将初始条件，代入零状态响应形式V0)0(zsud(0)0V/sdzsut6ee)(21tzstzszstCCtu(0)t解得：()()()(4e4e6)()ttzizsutututtut讨论：本例中零状态响应的初始条件与起始条件相同，只是特例。另一例子，电流是有跳变的。所以零状态响应一定要用初始条件计算。()it(0)LuF1C1R(0)i21()txteV2S(0)0i(0)d(0)1dLuitL(0)0id(0)0dit信号与系统讨论：用经典法从起始条件求出时刻的初始条件的过程往往比较复杂，需根据实际的物理系统的约束关系求解。0t作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出时刻的初始条件，有兴趣的同学有参考有关的参考课。“微分方程冲激函数匹配原理判断时刻和时刻状态的变化”0t00在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用卷积积分求系统的零状态响应比较方便，它绕过了求时刻的初始条件的步骤。0t第5章还将介绍系统的复频域分析法，利用复频域分析法求解系统响应，可以自动代入时刻的起始条件，从而更方便地求得零输入响应、零状态响应和完全响应。0t信号与系统求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。零状态响应()()()rtetht系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即()t()ht()et()rt线性时不变系统()ht信号与系统对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。信号与系统(0)1r(0)0rttzieetr21)((0)0r(0)1rttzieetr2222)()()(3tuetet)()23()(323tueeetrtttzs1)0(,2)0(rr3()()3()txtteut312()()()()2()()zszizszizirtrtrtrtrtrt例：二阶系统对，的起始状态1的零输入响应为对，的起始状态2的零输入响应为系统对激励的零状态响就为求系统在起始状态下，对激励解：的完全响应。对系统线性的进一步认识信号与系统设零输入响应为)(zitr，零状态响应为)(zstr，则有例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为()et时，其全响应为31()2esin(2)()trttut；当激励为2()et时，其全响应为32()e2sin(2)()trttut。求：(1)初始条件不变，当激励为0()ett时的全响应3()rt，0t为大于零的实常数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5()et时的全响应4()rt。31zizs()()()2esin(2)()trtrtrttut32zizs()()2()[e2sin(2)]()trtrtrttut解：对系统线性的进一步认识信号与系统3zizs0()()()rtrtrtt03()3003e()[esin(22)]()tttutttutt4zizs()2()0.5()rtrtrt3323e()0.5esin(2)()ttuttut解得3zi12()2()2()3e()trtrtrtut3zs1()()()[esin(2)]()tzirtrtrttut35.5e0.5sin(2)()ttut对系统线性的进一步认识信号与系统作业（13-4-02）P492-14(3)2-16(1)