量子与统计QM2-2

§2.2量子态叠加原理一、量子态及其表象•态函数:态函数完全描述一个体系的量子态()()()()()()/33/2/33/21212ipriprpredrrpedpϕψπψϕπ−⋅⋅==∫∫当给定后，粒子所有力学量的测值概率分布就得以确定.完全描述了一个三维空间中粒子的量子态，因而波函数亦称为态函数.()rψ()rψ•表象(representation)含义：量子力学中态和力学量的具体表示方式常用表象：坐标表象、(角)动量表象、能量表象等二、量子态叠加原理如果是体系的可能状态,那么nnncΨ=Ψ∑12,,,nΨΨΨ(是复常数)也是体系的可能状态.nc()()221122****1122112222112212121212cccccccccccc∗∗∗∗Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨΨ+Ψ=Ψ+ΨΨ+ΨΨΨ+干涉项:cccc12121212∗∗∗∗+ΨΨΨΨ【重要概念】对于一个指定的量子体系,如果我们找到了它的“完备的基本状态”,那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到.1.表达【例题1】一个自由电子以动量和能量运动的状态是平面波p2/2Epµ=/)(e),(Etrpiptr−⋅=Ψ因此,自由电子的任何状态都可以写成(,)(,)ppprtcrtΨ=Ψ∑即是各种不同动量的平面波的叠加.这个例子在数学上就是函数的Fourier变换.引入/3/21()e(2)iprprπ⋅Ψ=那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成/333/2/333/21(,)(,)e,()(2)1(,)(,)e,()(2)iprxyziprrtcptdpdpdpdpdpcptrtdrdrdxdydzππ⋅∞−⋅∞Ψ===Ψ=∫∫物理意义:动量测量概率振幅cpt(,)2.讨论•由态叠加原理可知，态矢量的集合对线性叠加(运算)是封闭的.因此态矢量构成一个线性空间,量子力学的理论就是在这个由态矢量张开的线性空间中运行的.{}Ψ•态叠加原理要求态矢量随时间的演化方程(Schrödinger方程)为线性、齐次方程.这样才能保证如果是方程的解，那么也是方程的解.12,,nΨΨΨnnncΨ=Ψ∑•叠加系数的意义()nnntpcΨ=Ψ∑,表示处于态的概率与成正比.12,,nΨΨΨ()2,ncpt3.量子态叠加原理与经典叠加原理的区别[1]经典波场的叠加是实场的叠加,波振幅有直接的物理意义(代表场);量子力学中的波函数不具有直接的物理意义,是概率波函数的叠加,不是概率密度的叠加.[2]因与描写同一状态，故所有叠加系数同乘以c(复常数)叠加态不变;而经典场如与电场表示的是强度不同的场.[3]经典场有的态，而量子力学的波函数不能处处为零，因讨论的粒子总在空间中存在.0=EΨcΨ∑=nnnEccEc∑=nnnEcE