27清华大学信号与系统习题讲义

1信号与系统习题课助教：张丹华清华大学电子工程系2008.4.152一、判断2nnnajbF−=*nnFF−=具有性质：，1、实周期信号的指数形式傅立叶级数的系数nnab其中和分别为信号余弦分量和正弦分量的幅度。由P91，利用an是n的偶函数，bn是n的奇函数的性质3()()()()01001011112cos2sintTnttTntaftntdtTbftntdtTωω++==∫∫由于：*22nnnnnnnnnnaabbajbajbFF−−−−−==−−+===于是：所以，命题正确。42关于广义函数的莱布尼兹公式2(())()2()2()()dutdutututtdtdtδ==3222(())(())(())()()2()()()()()3()()dutdutdutututdtdtdtuttuttututtδδδ=+=+=正确吗？523()()()ututut==事实上，()2()()3()().......?tuttuttδδδ==()()()fgxdfgdgdffgdxdxdx⋅=+设、为的广义函数，并不存在通常意义下的导数，那么并不总是成立。具体解释需要用到广义函数的阶数等概念。63、设系统的输入为x(t)，2()(1)tytext−=−输出为，则该系统是时变因果系统。判断因果系统：现在的响应是否等于现在的激励＋以前的激励判断线性系统：先线性运算，再经系统是否等于先经系统，再线性运算判断时不变系统：时移再经系统=?先经系统再时移72()(1)tytext−=−先经系统，再延迟为02()00()(1)ttyttextt−−−=−−200(1)()texttytt−−−≠−先延迟，再经系统为——时变系统t时刻响应只取决于t时刻以前的激励——因果系统所以，命题正确。8222()3()4()()dddrtrtrtetdtdtdt++=4、已知系统微分方程为()()etut=(0)1r−′=(0)1r−=则此系统的各起始条件在起始点都没有发生跳变。书后练习题9()22()2()3()4()()etutddrtrtrttdtdtδ∴++=由于＝()()()()(0)(0)()()()(0)(0)()()(0)(0)rtatbtcutrrartatbutrrbrtautrrcδδδδ+−+−+−′′′=++∆−=′′′=+∆−=′′′′=∆−=利用函数匹配设：1002bc===∴解得：a，，在起始点发生了跳变。105、33sin(),1()()0,tXxttωωω⎧≤⎪==⎨⎪⎩与其它构成傅立叶变换对。由于是判断题，所以只需检验特殊点。针对此题，我们检验0点，x(t)为非负信号，必有直流，而题给频谱0点却为0值，由此发现矛盾,所以命题不正确。11二、()xt()Xω()Xωω242−4−24已知信号的频谱如图2所示：试求信号时域波形的表达式。()xt12该图为两个三角频谱相减而成，即12()()()XXXωωω=−ω()Xω131112222222(){()}{()}18484()62()244132(2)12()22{()[8cos()3]}xtFXFXttSaSaSatSatSattωωπππ−−=−⎡⎤=⋅⋅−⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−⎣⎦=−由傅里叶变换的对称性，()()()()2ftFjFtfωπω↔↔−查傅里叶变换表，三角脉冲的傅里叶变换可得：14另解：感兴趣的同学可以课下练习()Xωω242−4−242−15三、非均匀抽样问题考察非均匀抽样间隔系统，如图5.1所示：()xt()st()ft1()yt()Hω2()yt3()yt()zt16假设：i)()xt2mmfωπ=是带限的，截止角频率为其频谱为如图5.2所示的三角形状；()Xωωmω−mω17()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−()st14mTf=ii)是非均匀间隔的周期单位冲激序列，如图5.3所示，其中()costftTπ=,0()0,0,0jHjωωωω⎧⎪==⎨⎪−⎩iii)其中1j=−18()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−1()()mnsttfnδ∞=−∞=−∑1)设11()()()stststT=+−则111(){()}{()}{()}{()}(1)jTjTSFstFstFsteFsteωωω−−==+=+(1)()jTmmnenωωδωω∞−=−∞=+−∑1()4mTtfδ=代入，并利用的性质，得/2()(1)()jnmmnSenπωωδωω∞−=−∞⎡⎤=+−⎣⎦∑(1)()nmmnjnωδωω∞−=−∞⎡⎤=+−⎣⎦∑试求：1）()st的傅里叶变换()Sω19()()stft由于抽样信号的作用，只在抽样的取值有意义()()stft2()Sω(0)1,()1ffT==−2）的傅里叶变换()costftTπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−21111()()()()(0)()()()()ststftstfstTfTststT==+−=−−因此，同理可得：2()(1)()nmmnSjnωωδωω∞−=−∞⎡⎤=−−⎣⎦∑20()zt[2,2]mmωω−()Zω3）试画出在频率范围内的幅度频谱23()()()ztytyt=+23()()()ZYYωωω⇒=+221(){()}{()*()}YFytFythtω==1(){()}(){()()()}HFytHFxtstftωω==⋅()xt()st()ft1()yt()Hω2()yt3()yt()zt[]2()()*()2HXSωωωπ=33(){()}{()()}YFytFxtstω==⋅1()*()2XSωωπ=23()()()YYZωωω将和代入表达式，得2122()()()*[()()()]*[()()]22XXZHSSjSSωωωωωωωωππ=+=±+,0()0,0,0jHjωωωω⎧⎪==⎨⎪−⎩00ωω时取“＋”号，时取“－”号2()()jSSωω±+(1(1))()nmmnjjjnωδωω∞−=−∞⎡⎤=±+−⎣⎦∑m()()ZXωω为与一具有复系数的脉冲所以，串相卷积[3,3]mmωω−在范围内的脉冲串系数为：[(22)20202(22)]322023mmmmmmmjjjjωωωωωωωπ−−+×↑↑↑↑↑−↑−↑−220()Xωωmω−mω1图5.2[(22)20202(22)]322023mmmmmmmjjjjωωωωωωωπ−−+×↑↑↑↑↑−↑−↑−可见，用截止角频率为的理想低通滤波器即可滤出没有混叠的原信号频谱，从而实现了信号的恢复。[]3,3()()mmZωωω−故得到在频率范围内的幅度频谱图中黑实线()Zωωmω−mω3mω2mω2mω−3mω−/mωπmω23()ft1()(cos)()2tfteutut−=请画出四、波形。2π92π72π52π32π()ft()()tfteut−=1()(cos)2ftut=2π92π72π52π32π1()(cos)()2tfteutut−=24五、()()()212Fjuftωω=−频谱函数的原函数＝_______本例目的在于熟悉并正确应用傅里叶变换的对称性以及尺度变换特性。25()()1utjπδωω↔+()()12tujtπδπω+↔−()()1122utjtωδπ−↔+()()122utjtωδπ−↔−()()1122111222jtjtutjetjettωδδππ⎛⎞⎛⎞⎡⎤−−↔−=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠26六已知的波形为半圆，圆心为，半径0.3。若且，则()ft0.5t=()()()Gftftω=∗⎡⎤⎣⎦F()()()jGGeϕωωω=()ϕω=()ftt考查卷积定理、傅立叶变换的概念、奇偶虚实性、时移特性。利用以上性质，无需计算卷积27设()()()gtftft=∗根据的特点及卷积运算的特点可知()ft()gt1t=关于对称故为实偶函数且()()11gtgt=+()()()111gtftft=∗其中为实偶函数()()10.5ftft=+()()1Ggtω=⎡⎤⎣⎦F非负()1Gω的相位()10ϕω=时移特性()ϕωω=−28已知信号的频谱如图所示，其包络为梯形，其表达式为：()xt()Xω七、000000000,1,22()sin()(3),230,3XEωωωωωωωπωωωωωωωωωω⎧≤⎪⎪⎪≤⎪=•⎨⎪−≤⎪⎪⎪⎩　　　　　　()Xωω03ωE02ω0ωE−0ω−02ω−03ω−求的时域表达式。()xt29()Xωω03ωE02ω0ωE−0ω−02ω−03ω−利用傅里叶变换的性质巧妙求解，将问题分解为简单步骤，回避复杂运算考查傅里叶变换的卷积性、对称性、频移性、时移性等合理使用已有的结论；或用“巧劲”得到需要的结果30Step1：卷积定理令其中12()()()XXXωωω=102()sin()XEπωωω=000020000,1,2()(3),230,3Xωωωωωωωωωωωωωωω⎧≤⎪⎪⎪≤⎪=⎨⎪−≤⎪⎪⎪⎩　　　　　　将分解为简单函数的组合()Xω卷积特性12()()*()xtxtxt=1()?xt=2()?xt=31Step2：对称性&频移特性110000()22()22222XFtjExtttjEttππδδπωωππδδωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞−==−+−−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦()()1100110022()sin()()sin()22()XtXEXtEFFXtjEπωπωωωππωπδωδωωω=⎯⎯⎯⎯→=⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎯⎯⎯⎯→==+−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦变量更换傅里叶变换()()()()2()()2FtftFFtffωπωωπ−↔⇒↔−⇒↔32Step3：对称性&频移特性梯形傅里叶变换公式(P381)1()ftt1032ω02ω02ω−032ω−()()()()()000012000020338sinsin3444sinsin2Fωωωωωωωωωωωωωωωω+−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎛⎞=⎜⎟⎝⎠2()Xωω103ω0ω02ω0ω−02ω−03ω−对称性()()()100202sinsin22Fttgtttωωππω−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠频移性()()()00332220002034sinsincos22jtjtxtgteettttωωωωωπω−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠33Step4：卷积（时移）()Xωω03ωE02ω0ωE−0ω−02ω−03ω−10022()2jExtttππδδωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦()()00202034sinsincos22ttxtttωωωπω⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()1200022000()()*()3211sinsincos2222xtxtxtttjEtttωωωπωππωω=⎡⎤⎢⎥⎛⎞⎛⎞⎢⎥=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎢⎥−+⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦342()Xωω103ω0ω02ω0ω−02ω−03ω−扩展思路：多种不同的求解方法求的不同思路2()xt(5)“两个矩形卷积-梯形”+“频移”(6)分段矩形的积分-一阶微分定理(7)冲激函数的两次积分-二阶微分定理(1)大梯形减去三角形(2)大三角减去两个三角(3)四个三角形叠加(4)“三角减三角”+“频移”35八、已知一LTI系统的零极点分布如图所示，且当输入信号为时，系统稳态输出的直流分量为2。()1xt=(1)求该系统的系统函数()Hs(2)求系统的幅频特性和相频特性()Hjω()ϕω(3)若输入信号为，求系统稳态响应()()3sin33ettutπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠()ytσjω36考查系统函数、幅频特性及相频特性、稳态响应的概念。注意求稳态响应时利用输入信号为正弦信号这一特点来简化计算(1)列出零极点：1()p=−二阶1z=设系统函数为()()211sHsks−=+根据已知可得()02Hj=2k=−()()2221sHss−=+37(2)分别计算的模和相位()Hjω()()2221jHjjω